Un condensatore è un dispositivo in grado di immagazzinare cariche elettriche e può essere utilizzato per proteggere i circuiti da picchi indesiderati. Un condensatore, da solo, non può sostenere le necessità di un circuito complesso. Per questo, si fa uso di quelli che sono i sistemi di condensatori, vediamo di cosa si tratta!
Sistemi di condensatori: definizione
Abbiamo già visto cos'è un condensatore nell'articolo dedicato, tuttavia nei circuiti complessi sono presenti molti elementi e serve capire come questi elementi interagiscono e come si combinano. Quando parliamo di sistemi di condensatori, si intende un sistema composto da più condensatori, collegati in serie o in parallelo.
Ricordiamo cos'è la capacità di un condensatore, prima di andare a vedere come questa cambia quando uniamo più condensatori.
Capacità dei condensatori
Ogni condensatore ha una capacità, ovvero la capacità di immagazzinare carica elettrica. Il simbolo della capacità è \(C\), misurata in Farad. I Farad sono il numero di coulomb che possono essere immagazzinati per ogni volt:
\[1 F = \frac{1C}{1V}\]
La capacità può quindi essere utilizzata per calcolare la carica in coulomb presente nel condensatore quando è completamente carico:
\[Q = C V\]
Dove \(Q\) indica la carica, \(C\) la capacità del condensatore e \(V\) il voltaggio. Ovviamente, se abbiamo la carica immagazzinata \(Q\), possiamo ricavare la capacità del condensatore come
\[C = \frac{Q}{V}\]
Condensatori in serie
Quando parliamo di condensatori collegati in serie, ciò che intendiamo è un sistema in cui la corrente passa prima attraverso due o più condensatori uno di seguito all'altro. In figura 1, possiamo vedere ciò che intendiamo. La corrente che arriva al polo \(A\), attraversa il condensatore \(C_1\) fino a raggiungere il polo \(B\) e poi attraversa il condensatore \(C_2\), per continuare nel suo percorso fino a \(C\).
Fig. 1 - Condensatori collegati in serie.
Per capire cosa succede alla capacità dei condensatori \(C_1\) e \(C_2\) in questo schema dobbiamo pensare che differenza di potenziale tra il punto A e il punto C è data dalla somma tra le differenze di potenziale dei singoli condensatori.
\[V_C - V_B = \frac{Q}{C_1} \qquad \qquad V_B - V_A = \frac{Q}{C_2}\] \[\Delta V = V_C - V_A = \frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2} =Q \left( \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right) \]
Possiamo pensare di vedere il termine tra parentesi come una capacità "equivalente" del sistema di condensatori, da cui:\[\Delta V = \frac{Q}{C_{eq}}\]
Possiamo anche scrivere che, per un sistema di condensatori in serie, la capacità equivalente è data dalla relazione
\[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\: ...\]
Condensatori in parallelo
Nel caso di condensatori collegati in parallelo, invece, il circuito si "divide" in più rami, ciascuno dei quali ha un condensatore singolo. In questo caso, la differenza di potenziale tra i due nodi \(A\) e \(B\) è una sola.
Fig. 2 - Condensatori in parallelo.
Possiamo quindi scrivere la formula per la carica totale sui singoli condensatori:
\[Q_1 = C_1 V \qquad \qquad Q_2 = C_2 V\]
Possiamo quindi dire che la carica totale sulle due armature è
\[Q = Q_1 + Q_2 = (C_1 + C_2) V\]
Anche in questo caso possiamo pensare alla capacità tra parentesi come la capacità equivalente del sistema intero, per cui possiamo dire che per un sistema di più condensatori collegati in parallelo, vale:
\[C_{eq} = C_1 + C_2 + \: ...\]
Condensatori in serie e in parallelo: esercizi
Prendiamo come esempio il circuito che vediamo in figura 3. In questo circuito, l'esercizio ci dice che \(C_1 = 3\: nF\), \(C_2 = 6\: nF\) e \(C_3 = 4\:nF\) e chiede di calcolare la capacità complessiva del sistema di condensatori.
Fig. 3 - Circuito dell'esercizio.
Negli esercizi di questo tipo, è importante dividere il problema in tanti piccoli problemini e risolverli passo passo. Per esempio, in questo caso, possiamo prima risolvere il problema dei condensatori in parallelo. Ricordando le formule:
\[ C_{eq} = C_2 + C_3 = 6 \: nF + 4 \:nF = 10\: nF\]
Fig. 4 - Possiamo pensare ai condensatori in parallelo come uno solo avente capacità equivalente \(C_{eq}\).
Una volta risolto il problema dei condensatori in parallelo, possiamo sostituire nel diagramma \(C_2\) e \(C_3\) con un solo condensatore con capacità \(C_{eq}\). In questo modo, si vede subito che il problema è ora un problema di condensatori in serie, che sappiamo risolvere!
Fig. 5 - Per calcolare la capacità complessiva del sistema si usa la formula per la capacità di condensatori in serie.
Possiamo quindi applicare la formula che abbiamo visto per la capacità equivalente di un sistema di condensatori in serie:
\[ \frac{1}{C_{eq,2}} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3}+\frac{1}{10} = \frac{13}{30} \]
Tuttavia, questo risultato non è la capacità del sistema di condensatori, è il suo reciproco! Perciò:
\[C_{eq,2} = \left( \frac{13}{30} \right)^{-1} = \frac{30}{13}\:nF \approx 2,31\:nF\]
Sistemi di condensatori - Key takeaways
- In circuiti complessi sono presenti sistemi di condensatori.
- Abbiamo visto sistemi di condensatori in serie e in parallelo.
- Nei condensatori in serie, la capacità equivalente è data da \(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \: ...\)
- Nei condensatori in parallelo, la capacità equivalente è data da \(C_{eq} = C_1 + C_2 + \: ...\)
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