Leggi di Kirchhoff

Leggi di Kirchhoff: Nodi, rami e maglie

Un importante concetto per l'uso delle leggi di Kirchhoff è quello di nodi, rami e maglie di un circuito elettrico. Un nodo è un punto del circuito in cui convergono tre o più conduttori elettrici. I rami, in un circuito elettrico, sono fili conduttori che collegano i nodi e che possono contenere componenti elettrici come generatori, condensatori e resistori. Le maglie, infine, sono percorsi chiusi che possono essere individuati in un circuito.

Come vedremo, questi elementi del circuito sono molto utili per la risoluzione dei problemi di fisica che riguardano i circuiti elettrici.

Prima legge di Kirchhoff

La prima legge di Kirchhoff, anche chiamata legge dei nodi, afferma che in un nodo non possono esistere accumuli di intensità di corrente, o in altre parole, se su un un nodo entra un'intensità di corrente \(i_e\), questa deve anche uscire dal nodo come un'intensità di corrente \(i_u\).

Fig. 1 - Rappresentazione della prima legge di Kirchhoff.

In termini matematici possiamo scrivere:

\[\sum_{e=1}^n i_e = \sum_{u=1}^m i_u\]

Oppure, se assegnamo alle correnti un segno (positivo se uscenti e negativo se entranti, di solito), possiamo dire che in un nodo, la somma algebrica delle correnti deve essere nulla.

\[\sum_{k=1}^N i_k = 0\]

Seconda legge di Kirchhoff

La seconda legge di Kirchhoff, spesso chiamata legge delle maglie o delle tensioni, prende in considerazione non i singoli nodi, ma le maglie di un circuito elettrico. Per capire cosa intendiamo, osserviamo la figura 2. In questo caso, i punti \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) costituiscono un rettangolo chiuso, ovvero una maglia. La legge delle maglie dice che la somma delle forze elettromotrici \(\mathcal{E}\) all'interno della maglia è uguale alla somma dei prodotti \(R_k i_k\), ovvero le differenze di potenziale ai capi di ciascun resistore presente sui rami della maglia.

Questa descrizione estremamente complessa, si traduce molto semplicemente in termini matematici. Se abbiamo \(k\) resistori nel nostro circuito, ciascuno con la propria resistenza \(R_k\) e percorso da un'intensità di corrente \(i_k\), possiamo scrivere:

\[\sum_{k=1}^n R_k i_k = \sum_{k=1}^n \mathcal{E}_k\]

Nel caso della figura 2, se chiamiamo \(\mathcal{E}\) la forza elettromotrice generata dal generatore, possiamo scrivere

\[\mathcal{E} = R_1 i_1 + R_2 i_2 + R_3 i_3\]

Naturalmente, essendoci un solo generatore, le intensità di corrente sono le stesse per tutti i resistori, in questo esempio!

Se il circuito si estendesse anche alla maglia che contiene \(R_5\), dovremmo considerare 2 maglie: quella del quadrilatero \(abcd\) e quella che contiene \(R_3\) e \(R_5\).

Leggi di Kirchhoff: regole sui segni

La scelta dei segni per le componenti, per quanto sia una convenzione, deve rispettare alcune regole. In particolare, quando si studiano le maglie dei circuiti bisogna scegliere un verso di percorrenza della corrente, che non è banale! Vediamo quindi quali regole devono soddisfare i segni dei vari elementi nel circuito.

• Se nel ramo k-esimo la corrente \(i_k\) è concorde al verso scelto nella maglia, \(R_k i_k\) è positivo. In caso contrario, \(R_k i_k\) è negativo.
• Se la sorgente di forza elettromotrice \(\mathcal{E_k}\) viene attraversata dalla corrente partendo dal polo negativo e arrivando a quello positivo, \(E_k\) è positiva. Se viene percorsa in direzione opposta, \(E_k\) è negativa.

Queste semplici regolette ci permettono di verificare se il verso scelto all'interno di una maglia è corretto. Possiamo infatti verificare se il verso scelto inizialmente è quello giusto perché le leggi di Kirchoff ci dicono la direzione di tutte le correnti elettriche.

Leggi di Kirchhoff: esercizi

Vediamo ora un esercizio che usa quanto abbiamo visto.