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Leggi di Kirchhoff

Leggi di Kirchhoff

Quando si ha a che fare con circuiti complessi è difficile usare le formule che abbiamo visto per i sistemi di condensatori e di resistori. Spesso, i problemi non possono essere ridotti a sistemi in parallelo o in serie e richiedono strumenti più adatti. Vediamo insieme quali sono!

Leggi di Kirchhoff: spiegazione

Le leggi di Kirchhoff sono un importantissimo strumento per la risoluzione di problemi di circuiti. Permettono di trattare sistemi complessi con relativamente poche equazioni.

Leggi di Kirchhoff: Nodi, rami e maglie

Un importante concetto per l'uso delle leggi di Kirchhoff è quello di nodi, rami e maglie di un circuito elettrico. Un nodo è un punto del circuito in cui convergono tre o più conduttori elettrici. I rami, in un circuito elettrico, sono fili conduttori che collegano i nodi e che possono contenere componenti elettrici come generatori, condensatori e resistori. Le maglie, infine, sono percorsi chiusi che possono essere individuati in un circuito.

Come vedremo, questi elementi del circuito sono molto utili per la risoluzione dei problemi di fisica che riguardano i circuiti elettrici.

Prima legge di Kirchhoff

La prima legge di Kirchhoff, anche chiamata legge dei nodi, afferma che in un nodo non possono esistere accumuli di intensità di corrente, o in altre parole, se su un un nodo entra un'intensità di corrente \(i_e\), questa deve anche uscire dal nodo come un'intensità di corrente \(i_u\).

Leggi di Kirchhoff Legge delle maglie StudySmarterFig. 1 - Rappresentazione della prima legge di Kirchhoff.

In termini matematici possiamo scrivere:

\[\sum_{e=1}^n i_e = \sum_{u=1}^m i_u\]

Oppure, se assegnamo alle correnti un segno (positivo se uscenti e negativo se entranti, di solito), possiamo dire che in un nodo, la somma algebrica delle correnti deve essere nulla.

\[\sum_{k=1}^N i_k = 0\]

La legge dei nodi è una conseguenza diretta del principio di conservazione della carica!

Seconda legge di Kirchhoff

La seconda legge di Kirchhoff, spesso chiamata legge delle maglie o delle tensioni, prende in considerazione non i singoli nodi, ma le maglie di un circuito elettrico. Per capire cosa intendiamo, osserviamo la figura 2. In questo caso, i punti \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) costituiscono un rettangolo chiuso, ovvero una maglia. La legge delle maglie dice che la somma delle forze elettromotrici \(\mathcal{E}\) all'interno della maglia è uguale alla somma dei prodotti \(R_k i_k\), ovvero le differenze di potenziale ai capi di ciascun resistore presente sui rami della maglia.

Leggi di Kirchhoff Seconda legge di Kirchhoff StudySmarter

Fig. 2 - Rappresentazione della seconda legge di Kirchhoff.

Questa descrizione estremamente complessa, si traduce molto semplicemente in termini matematici. Se abbiamo \(k\) resistori nel nostro circuito, ciascuno con la propria resistenza \(R_k\) e percorso da un'intensità di corrente \(i_k\), possiamo scrivere:

\[\sum_{k=1}^n R_k i_k = \sum_{k=1}^n \mathcal{E}_k\]

Nel caso della figura 2, se chiamiamo \(\mathcal{E}\) la forza elettromotrice generata dal generatore, possiamo scrivere

\[\mathcal{E} = R_1 i_1 + R_2 i_2 + R_3 i_3\]

Naturalmente, essendoci un solo generatore, le intensità di corrente sono le stesse per tutti i resistori, in questo esempio!

Se il circuito si estendesse anche alla maglia che contiene \(R_5\), dovremmo considerare 2 maglie: quella del quadrilatero \(abcd\) e quella che contiene \(R_3\) e \(R_5\).

La seconda legge di Kirchhoff è equivalente alla legge di conservazione dell'energia per campi conservativi.

Leggi di Kirchhoff: regole sui segni

La scelta dei segni per le componenti, per quanto sia una convenzione, deve rispettare alcune regole. In particolare, quando si studiano le maglie dei circuiti bisogna scegliere un verso di percorrenza della corrente, che non è banale! Vediamo quindi quali regole devono soddisfare i segni dei vari elementi nel circuito.

  • Se nel ramo k-esimo la corrente \(i_k\) è concorde al verso scelto nella maglia, \(R_k i_k\) è positivo. In caso contrario, \(R_k i_k\) è negativo.
  • Se la sorgente di forza elettromotrice \(\mathcal{E_k}\) viene attraversata dalla corrente partendo dal polo negativo e arrivando a quello positivo, \(E_k\) è positiva. Se viene percorsa in direzione opposta, \(E_k\) è negativa.

Queste semplici regolette ci permettono di verificare se il verso scelto all'interno di una maglia è corretto. Possiamo infatti verificare se il verso scelto inizialmente è quello giusto perché le leggi di Kirchoff ci dicono la direzione di tutte le correnti elettriche.

Leggi di Kirchhoff: esercizi

Vediamo ora un esercizio che usa quanto abbiamo visto.

Prendiamo il circuito in figura 3. In questo circuito \(\mathcal{E}_1 = 14\:V\), \(\mathcal{E}_2 = 10\:V\), \(R_1 = 8\:\Omega\), \(R_2 = 4\:\Omega\), \(R_3 = 2\:\Omega\) e \(R_4 = 8\:\Omega\). Trovare l'intensità di corrente erogata dai due generatori.

Leggi di Kirchhoff Esercizio StudySmarterFig. 3 - Il circuito di questo esercizio.

Soluzione

Scriviamo le leggi delle maglie per le due maglie partendo dall'ipotesi che le correnti fluiscano in senso orario in entrambe le maglie:

\[\begin{gather} -\mathcal{E}_1=R_1 i_1 + R_3 (i_1 - i_2)\\\mathcal{E}_2=(R_2+R_4) i_2 +R_3(i_2-i_1)\end{gather}\]

Se riordiniamo le due equazioni in modo da mettere in evidenza \(i_1\) e \(i_2\) in entrambe le equazioni, troviamo

\[\begin{gather} (R_1 +R_3)i_1 - R_3 i_2 = -\mathcal{E}_1\\-R_3i_1+(R_2+R_3+R_4)i_2 = \mathcal{E}_2\end{gather}\]

Se inseriamo i dati che ci vengono forniti dal problema, otteniamo

\[\begin{gather}10i_1-2i_2=-14\\-2i_1+14i_2=10\end{gather}\]

Se risolviamo queste due equazioni, otteniamo

\[i_1 = -1,3 \: A \qquad \qquad i_2 = 0,5 \: A\]

Come possiamo vedere, \(i_1\) ha segno opposto a quello che avevamo inizialmente scelto, quindi la maglia di sinistra è in realtà percorsa in senso antiorario!

Leggi di Kirchhoff - Key takeaways

  • I nodi sono punti del circuito in cui convergono tre o più conduttori elettrici.
  • I rami, in un circuito elettrico, sono fili conduttori che collegano i nodi e che possono contenere componenti elettrici come generatori, condensatori e resistori.
  • Le maglie sono percorsi chiusi che possono essere individuati in un circuito.
  • La prima legge di Kirchhoff afferma che in un nodo la somma algebrica delle cariche deve essere nulla. \(\sum_k i_k = 0\)
  • La seconda legge di Kirchhoff dice che la somma delle forze elettromotrici \(\mathcal{E}\) all'interno di una maglia è uguale alla somma dei prodotti \(R_k i_k\). \(\sum_k \mathcal{E}_k = \sum_k R_k i_k\)
  • Esistono alcune regole importanti per i segni da usare nel considerare gli elementi elettrici di un circuito.

References

  1. Fig. 2 - Kirchhoff voltage law.svg (https://it.wikipedia.org/wiki/File:Kirchhoff_voltage_law.svg) by Kwinkunks (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Kwinkunks) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.it)

Domande frequenti riguardo Leggi di Kirchhoff

La legge dei nodi afferma che in un nodo la somma algebrica delle correnti deve essere nulla.

La seconda legge di Kirchhoff dice che la somma delle forze elettromotrici all'interno di una maglia è uguale alla somma dei prodotti Rkik, dove Rk è il valore della resistenza e ik quello dell'intensità di corrente che percorrono il ramo k-esimo.

Le leggi di kirchhoff sono due.

La prima legge di Kirchhoff afferma che in un nodo la somma algebrica delle cariche deve essere nulla. 

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