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Resistori
I resistori (o, meno correttamente, resistenze) sono componenti elettriche il cui scopo è, come dice il nome, opporre resistenza al passaggio di una corrente. Sono di fondamentale importanza nei circuiti elettrici e all'interno di uno schema elettrico vengono indicate con uno dei due simboli che si possono vedere in figura 1.
Fig. 1 - Simboli per i resistori
Ogni resistore è caratterizzato da una quantità caratteristica chiamata resistenza, misurata in Ohm e indicata con il simbolo \(\Omega\). Questa quantità indica la capacità di un resistore di opporre resistenza alla corrente elettrica, più alta è, più il resistore è in grado di dissipare corrente.
Un'importante proprietà dei resistori ideali è quella di rispondere alla legge di Ohm, che afferma che tra il voltaggio applicato ai capi di un resistore e la corrente passante al suo interno c'è una proporzionalità lineare, la cui costante proporzionale è esattamente la resistenza del resistore. Se vogliamo scriverla in formula:
\[V =Ri\]
Tratteremo solo resistori ideali, ovvero quelli che rispondono alle legge di Ohm ovvero la cui relazione tra tensione e corrente è lineare.
Resistenze in serie
Nei circuiti, tuttavia, non tutta la resistenza elettrica può essere concentrata in un singolo elemento, che sia per motivi di spazio, di complessità o di necessità di quantità specifiche di resistenza. Possiamo quindi iniziare a immaginare come questi sistemi complessi possano essere strutturati.
Partiamo dall'esempio di più resistenze in serie, ovvero poste sequenzialmente sullo stesso ramo di conduttore. In questo caso la corrente è forzata ad attraversare in serie tutti i resistori. Un esempio di questa configurazione è rappresentato in figura 2.
Fig. 2 - Resistenze in serie
Ma come possiamo descrivere questo sistema come se fosse una sola resistenza?
In questa configurazione, l'intensità corrente che attraversa i resistori è la stessa, mentre la differenza di potenziale ai capi dei resistori\[ V_A - V_B =R_1 i \qquad \qquad V_B - V_C = R_2 i\]
Possiamo quindi scrivere la differenza tra i capi \(A\) e \(C\) del conduttore come:
\[ V_A - V_C = (R_1 + R_2)i\]
La quantità tra parentesi \(R_1 + R_2\) può essere vista come una resistenza equivalente totale \(R_{eq}\). Se generalizziamo, possiamo pensare che un sistema di condensatori in serie abbia una resistenza equivalente
\[R_{eq} = R_1 + R_2 + \: ...\]
Resistenze in parallelo
Come per i condensatori, anche i resistori possono essere collegati in parallelo, un esempio di sistema di resistori in parallelo si può vedere in figura 3.
Anche in questo caso, si può pensare di studiare il sistema nel suo complesso e cercare di trovare una resistenza complessiva equivalente. In questo caso, però, l'intensità di corrente viene ripartita tra i due rami, mentre la differenza di potenziale rimane uguale per entrambi i resistori.
\[i = i_1 + i_2\]
da cui, se prendiamo \(V\) come la differenza di potenziale tra il capo \(A\) e il capo \(B\) dei resistori, otteniamo
\[i = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} = V \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)\]
La quantità tra parentesi può essere vista come il reciproco di una resistenza equivalente, ovvero come \(1/R_{eq}\). Se generalizziamo a più resistori, otteniamo
\[\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \: ...\]
Resistenze in serie e in parallelo: esercizi svolti
Ora che sappiamo come trattare sistemi di resistori in serie e in parallelo, possiamo vedere un semplice esercizio con quello che abbiamo imparato.
Nel circuito in figura 4, \(R_1 = 3,31 \: \Omega\), \(R_2 = 5,3 \: \Omega\) e \(R_3 = 2,5 \: \Omega\). Vogliamo calcolare la resistenza totale del circuito.
Fig. 4 - Il circuito trattato nell'esempio
Come in molti esercizi sui circuiti, bisogna separare il problema in tanti problemi più piccoli. Per esempio, in questo caso, conviene notare che \(R_2\) e \(R_3\) formano un sistema in parallelo e si possono semplificare come in figura 5.
Fig. 5 - Per ridurre l'esempio ad uno più semplice si può prima trattare il sistema di resistenze in parallelo.
Dobbiamo, però, comunque trovare il valore di \(R_{eq}\). Se applichiamo la formula che abbiamo visto, otteniamo
\[\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} = \frac{1}{5,3}+\frac{1}{2,5} \approx 0,59 \:\Omega^{-1}\]
Ma questa non è la resistenza, ma il suo reciproco! Per trovare la resistenza equivalente, dobbiamo somplicemente fare \(1/0,59\), ottenendo
\[R_{eq} = \frac{1}{0,59} = 1,69\: \Omega\]
Infine, per calcolare la resistenza equivalente di tutto il sistema possiamo vedere che \(R_1\) e \(R_{eq}\) costituiscono un sistema in serie, di cui sappiamo calcolare la resistenza equivalente:
\[R_{eq, 2} = R_1 + R_{eq} = 3,31 + 1,69 = 5 \: \Omega\]
Fig. 6 - Infine si possono considerare la nuova resistenza \(R_{eq}\) e \(R_1\) come un sistema in serie.
Resistenze in serie e in parallelo - Key takeaways
- In circuiti complessi sono presenti sistemi di resistenze in serie e in parallelo.
- La resistenza equivalente di resistori in serie è data da \(R_{eq} = R_1 + R_2 + \: ...\)
- La resistenza equivalente di resistori in parallelo è data da \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \: ...\)
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Domande frequenti riguardo Resistenze in serie e in parallelo
Cosa sono le resistenze in serie e in parallelo?
Le resistenze in serie e in parallelo sono sistemi complessi di resistori nello studio dei circuiti. Si tratta di resistori posti in fila su uno stesso ramo di conduttore (nel caso di resistori in serie) o su rami diversi in cui fluisce una corrente comune (nel caso in parallelo.
Come capire se le resistenze sono in serie o in parallelo?
Per capire se un sistema di resistenze è in serie o in parallelo bisogna guardare il diagramma del circuito che si vuole studiare.
Come si calcola la resistenza in serie?
La resistenza equivalente per resistori in serie è data dalla somma algebrica delle resistenze dei singoli resistori, ovvero Req = R1 + R2 + ...
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