Nei circuiti più complessi, non sempre la resistenza può essere concentrata in un unico resistore. Per questo motivo, si fa uso di sistemi più complessi in cui i resistori appaiono in serie o in parallelo. Vediamo cosa vuol dire e come risolvere qualche semplice esercizio insieme!
Resistori
I resistori (o, meno correttamente, resistenze) sono componenti elettriche il cui scopo è, come dice il nome, opporre resistenza al passaggio di una corrente. Sono di fondamentale importanza nei circuiti elettrici e all'interno di uno schema elettrico vengono indicate con uno dei due simboli che si possono vedere in figura 1.
Fig. 1 - Simboli per i resistori
Ogni resistore è caratterizzato da una quantità caratteristica chiamata resistenza, misurata in Ohm e indicata con il simbolo \(\Omega\). Questa quantità indica la capacità di un resistore di opporre resistenza alla corrente elettrica, più alta è, più il resistore è in grado di dissipare corrente.
Un'importante proprietà dei resistori ideali è quella di rispondere alla legge di Ohm, che afferma che tra il voltaggio applicato ai capi di un resistore e la corrente passante al suo interno c'è una proporzionalità lineare, la cui costante proporzionale è esattamente la resistenza del resistore. Se vogliamo scriverla in formula:
\[V =Ri\]
Tratteremo solo resistori ideali, ovvero quelli che rispondono alle legge di Ohm ovvero la cui relazione tra tensione e corrente è lineare.
Resistenze in serie
Nei circuiti, tuttavia, non tutta la resistenza elettrica può essere concentrata in un singolo elemento, che sia per motivi di spazio, di complessità o di necessità di quantità specifiche di resistenza. Possiamo quindi iniziare a immaginare come questi sistemi complessi possano essere strutturati.
Partiamo dall'esempio di più resistenze in serie, ovvero poste sequenzialmente sullo stesso ramo di conduttore. In questo caso la corrente è forzata ad attraversare in serie tutti i resistori. Un esempio di questa configurazione è rappresentato in figura 2.
Fig. 2 - Resistenze in serie
Ma come possiamo descrivere questo sistema come se fosse una sola resistenza?
In questa configurazione, l'intensità corrente che attraversa i resistori è la stessa, mentre la differenza di potenziale ai capi dei resistori\[ V_A - V_B =R_1 i \qquad \qquad V_B - V_C = R_2 i\]
Possiamo quindi scrivere la differenza tra i capi \(A\) e \(C\) del conduttore come:
\[ V_A - V_C = (R_1 + R_2)i\]
La quantità tra parentesi \(R_1 + R_2\) può essere vista come una resistenza equivalente totale \(R_{eq}\). Se generalizziamo, possiamo pensare che un sistema di condensatori in serie abbia una resistenza equivalente
\[R_{eq} = R_1 + R_2 + \: ...\]
Resistenze in parallelo
Come per i condensatori, anche i resistori possono essere collegati in parallelo, un esempio di sistema di resistori in parallelo si può vedere in figura 3.
Fig. 3 - Esempio di resistenze in parallelo
Anche in questo caso, si può pensare di studiare il sistema nel suo complesso e cercare di trovare una resistenza complessiva equivalente. In questo caso, però, l'intensità di corrente viene ripartita tra i due rami, mentre la differenza di potenziale rimane uguale per entrambi i resistori.
\[i = i_1 + i_2\]
da cui, se prendiamo \(V\) come la differenza di potenziale tra il capo \(A\) e il capo \(B\) dei resistori, otteniamo
\[i = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} = V \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)\]
La quantità tra parentesi può essere vista come il reciproco di una resistenza equivalente, ovvero come \(1/R_{eq}\). Se generalizziamo a più resistori, otteniamo
\[\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \: ...\]
Resistenze in serie e in parallelo: esercizi svolti
Ora che sappiamo come trattare sistemi di resistori in serie e in parallelo, possiamo vedere un semplice esercizio con quello che abbiamo imparato.
Nel circuito in figura 4, \(R_1 = 3,31 \: \Omega\), \(R_2 = 5,3 \: \Omega\) e \(R_3 = 2,5 \: \Omega\). Vogliamo calcolare la resistenza totale del circuito.
Fig. 4 - Il circuito trattato nell'esempio
Come in molti esercizi sui circuiti, bisogna separare il problema in tanti problemi più piccoli. Per esempio, in questo caso, conviene notare che \(R_2\) e \(R_3\) formano un sistema in parallelo e si possono semplificare come in figura 5.
Fig. 5 - Per ridurre l'esempio ad uno più semplice si può prima trattare il sistema di resistenze in parallelo.
Dobbiamo, però, comunque trovare il valore di \(R_{eq}\). Se applichiamo la formula che abbiamo visto, otteniamo
\[\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} = \frac{1}{5,3}+\frac{1}{2,5} \approx 0,59 \:\Omega^{-1}\]
Ma questa non è la resistenza, ma il suo reciproco! Per trovare la resistenza equivalente, dobbiamo somplicemente fare \(1/0,59\), ottenendo
\[R_{eq} = \frac{1}{0,59} = 1,69\: \Omega\]
Infine, per calcolare la resistenza equivalente di tutto il sistema possiamo vedere che \(R_1\) e \(R_{eq}\) costituiscono un sistema in serie, di cui sappiamo calcolare la resistenza equivalente:
\[R_{eq, 2} = R_1 + R_{eq} = 3,31 + 1,69 = 5 \: \Omega\]
Fig. 6 - Infine si possono considerare la nuova resistenza \(R_{eq}\) e \(R_1\) come un sistema in serie.
Resistenze in serie e in parallelo - Key takeaways
- In circuiti complessi sono presenti sistemi di resistenze in serie e in parallelo.
- La resistenza equivalente di resistori in serie è data da \(R_{eq} = R_1 + R_2 + \: ...\)
- La resistenza equivalente di resistori in parallelo è data da \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \: ...\)
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