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Potenziale elettrico

Potenziale elettrico

Il potenziale elettrico è una grandezza fondamentale nello studio dell'elettromagnetismo. Spesso il potenziale elettrico viene confuso con un'altra grandezza, l'energia potenziale elettrica. Si tratta, tuttavia, di due grandezze diverse che non devono essere confuse.

Vedremo che mentre la differenza di energia potenziale è data dal lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza elettrica per spostare una carica da un punto A a un punto B, la differenza di potenziale è data dal rapporto tra l'energia potenziale elettrica e la carica di prova stessa.

Dopo aver introdotto la nozione di energia potenziale elettrica, ricaveremo la formula per il potenziale elettrico a partire dalla definizione di differenza di potenziale tra due punti.

Energia potenziale elettrica

Consideriamo una carica di prova \(q\) immersa in un campo elettrico generato dalla carica \(Q\). Quando la carica \(q\) si sposta dalla posizione A alla posizione B, la forza esercitata dalla carica \(Q\) compie un lavoro \(W_{AB}\).

Poiché la forza elettrica è una forza conservativa, possiamo definire un'energia potenziale la cui variazione è uguale al lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza per portare la carica da A a B. Possiamo quindi scrivere:

\[\Delta U = - W_{AB}\]

Sappiamo che la carica di prova \(q\) immersa nel campo elettrico generato dalla carica \(Q\) subità una forza attrattiva o repulsiva a seconda dei segni delle cariche (attrattiva se di segno opposto, repulsiva se di uguale segno). Per spostare la carica di prova da A a B la forza elettrica compierà quindi un lavoro che equivale alla variazione di energia potenziale cambiata di segno.

Partendo dalla definizione di lavoro:

\[ W_{AB} = \int_A^B \vec F \cdot d \vec s \]

e sostituendo nell’integrale l'espressione della forza di Coulomb \( \vec F_C\) in termini del campo elettrico \( \vec E\):

\[ \vec F_C = q \vec E\]

si ottiene, avendo svolto l'integrale, la seguente espressione per il lavoro svolto:

\[ W_{AB}= k Q q \left ( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right ) \]

dove \(k\) è detta costante di Coulomb ed è pari a circa \(9 \cdot 10^9 \space N m^2 C^{-2}\), \(r_A\) è la distanza di \(q\) da \(Q\) nel punto \(A\) e \(r_B\) è la distanza di \(q\) da \(Q\) nel punto \(B\).

Si arriva quindi alla seguente espressione per la variazione di energia potenziale relativa allo spostamento della carica di prova \(q\) tra il punto A e il punto B:

\[ \Delta U = - W_{AB}= k q Q \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\]

Immaginando di portare la carica \(q\) dall'infinito a un punto a distanza \(r\) da \(Q\), si ha

\[\Delta U = U_r -U_{\infty} \]

Ponendo \(U_{\infty}=0\), si ottiene la seguente espressione per l'energia potenziale:

\[ U(r) = k q Q \frac{1}{r} \]

Notiamo quindi che l'energia potenziale elettrica di un sistema di due cariche è inversamente proporzionale alla distanza tra le due cariche e poiché dipende dal prodotto delle medesime, sarà positiva se le cariche hanno lo stesso segno e negativa se hanno segno opposto.

Nel caso di cariche con lo stesso segno, poiché tenderanno a respingersi, l'energia potenziale sarà uguale al lavoro che occorrebbe compiere per avvicinarle fino alla distanza \(r\). Nel caso di cariche con segno opposto, poiché tenderanno ad avvicinarsi, l'energia potenziale è uguale al lavoro che occorrerebbe compiere per allontanarle fino a distanza infinita.

Differenza di potenziale

Poiché la variazione di energia potenziale dipende dalla carica di prova \(q\), è più comodo utilizzare una grandezza che non dipende dalla carica di prova. Si introduce quindi la differenza di potenziale elettrico \( \Delta V \) che, a differenza di \( \Delta U\), non dipende da \(q\):

\[ \Delta V = \frac{\Delta U}{q} \]

L’unità di misura della differenza di potenziale è il Volt ( 1 V = 1 J C-1).

Sostituendo l'espressione per \(\Delta U\) precedentemente ricavata e che riscriviamo qui per comodità

\[ \Delta U = k q Q \left ( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right )\]

si ottiene:

\[ \Delta V = k Q \left ( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\]

Siamo ora pronti per ricavare l'espressione per il potenziale elettrico.

Potenziale elettrico: definizione

Abbiamo trovato la formula per la differenza di potenziale nel caso di un campo generato da una carica puntiforme. Ponendo \(V (\infty) = 0\) (ovvero, potenziale nullo quando le cariche sono a distanza infinita), si ottiene il potenziale in funzione della distanza \(r\) tra \(q\) e \(Q\):

\[ V(r) = kQ \frac{1}{r} \]

Il potenziale elettrico in un punto P a distanza \(r\) dalla carica \(Q\) che genera il campo elettrico è uguale al lavoro per unità di carica necessario a spostare la carica dall'infinito fino al punto P.

Nel caso di una carica puntiforme \(Q\) il potenziale è \( V(r) = kQ \frac{1}{r} \), dove \(r\) è la distanza dalla carica \(Q\) e \(k\) è la costante di Coulomb.

Nel caso di campo generato da una carica puntiforme, le superfici equipotenziali (ovvero, le superfici dove il potenziale è lo stesso in tutti i punti) sono rappresentate da sfere con centro nella carica, come mostrato in Figura 1.

Potenziale elettrico superfici equipotenziali StudySmarterFig. 1 - Campo elettrico generato d aun elettrone e superfici equipotenziali.

Le linee di campo prodotte da una carica positiva sono uscenti, mentre le linee di campo prodotte da una carica negativa puntano verso di essa.

Potenziale elettrico generato da più cariche

Analogamente a come abbiamo fatto per il campo elettrico, nel caso di un sistema di cariche si applica il principio di sovrapposizione. In altre parole, il potenziale generato da un sistema di cariche in un punto \(P\) sarà dato dalla somma dei potenziali generati da ciascuna carica. Nel caso di \(n\) cariche si avrà quindi:

\[ V = k \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{r_i} \]

dove \(Q_i\) è la i-esima carica e \(r_i\) è la distanza tra il punto \(P\) e \(Q_i\).

Potenziale elettrico dipolo StudySmarterFig. 2 - Linee di campo elettrico e superfici equipotenziali nel caso di un campo generato da due cariche, una positiva (destra) e una negativa (sinistra).

Potenziale elettrico: esercizi

Data la carica puntiforme \(Q = 10 \space \mu C\), calcola il potenziale in un punto a distanza \(r= 2 \space m\) dalla carica \(Q\).

Poiché siamo in presenza di un campo generato da una carica puntiforme, inseriamo i dati del problema nella seguente formula:

\[ V(r) = kQ \frac{1}{r} \]

\[ V (r = 2 \space m) = 9 \cdot 10^9 \space N m^2 C^{-2} (2 \cdot 10^{-6}C) \frac{1}{2 \space m} = 9 \cdot 10^3 \space V\]

Data la caria puntiforme \(Q = - 10 \space \mu C\), calcola la differenza di potenziale tra i punti A e B che distano rispettivamente \(r_A = 3 \space m \) e \(r_B = 1 \space m \) dalla carica \(Q\).

Siamo in presenza di un campo generato da una carica puntiforme. La differenza di potenziale \( \Delta V = V_B - V_A\) sarà quindi data dalla seguente formula:

\[ \Delta V = k Q \left ( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\]

Inserendo i dati si ottiene:

\[ \Delta V = 9 \cdot 10^9 \space N m^2 C^{-2} (- 10 \cdot 10^{-6}C) \left ( \frac{1}{1 \space m} - \frac{1}{3 \space m} \right ) = - 6 \cdot 10^4 \space V\]

Potenziale elettrico - Punti chiave

  • Il potenziale elettrico e l'energia potenziale elettrica sono due grandezze distinte.
  • La differenza di energia potenziale è data dal lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza elettrica per spostare una carica da un punto A a un punto B.
  • La differenza di potenziale è data dal rapporto tra l'energia potenziale elettrica e la carica di prova stessa.
  • Il potenziale elettrico non dipende dalla carica di prova ed è definito considerando nullo il suo valore a distanza infinita. Il potenziale generato da una carica puntiforme \(Q\) nel punto a distanza \(r\) da \(Q\) è \( V(r) = kQ \frac{1}{r} \), dove \(k\) è la costante di Coulomb.
  • Le superfici equipotenziali sono quelle superfici dove il valore del potenziale è lo stesso in tutti i punti. Nel caso di campo generato da una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono rappresentate da sfere con centro nella carica.

References

  1. Fig. 2 - Electric-dipole-field-lines-and-equipotential-lines.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electric-dipole-field-lines-and-equipotential-lines.svg) by Geek3 (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Geek3) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Domande frequenti riguardo Potenziale elettrico

Il potenziale elettrico in un punto P a distanza r dalla carica Q che genera il campo elettrico è uguale al lavoro per unità di carica necessario a spostare la carica dall'infinito fino al punto P. 


Il potenziale elettrico è nullo a distanza infinita. 

Il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme Q in un punto P a distanza r da Q è pari a V(r) = k Q/r, dove k è la costante di Coulomb.


Nel caso di un sistema di cariche, il potenziale elettrico è dato dalla somma dei potenziali generati di ciascuna carica.

Quiz Finale Potenziale elettrico

Domanda

Il potenziale elettrico è una grandezza vettoriale. Vero o falso?

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Risposta

Falso.

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Domanda

Il potenziale elettrico coincide con l'energia potenziale elettrica. Vero o falso?

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Risposta

Falso, si tratta di due grandezze diverse. Mentre la differenza di energia potenziale è data dal lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza elettrica per spostare una carica da un punto A a un punto B, la differenza di potenziale è data dal rapporto tra l'energia potenziale elettrica e la carica di prova stessa.   

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Domanda

Quanto vale la costante di Coulomb?

Visualizza la risposta

Risposta

La costante di Coulomb è pari a circa \( 9 \cdot 10^9 \space Nm^2C^{-2}\).

Visualizza la domanda

Domanda

Qual è l'spressione per la variazione di energia potenziale relativa allo spostamento della carica di prova \(q\) tra un punto A e il punto B? 

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Risposta

La variazione di energia potenziale elettrica è \[ \Delta U = k q Q \left(  \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\]

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Domanda

Qual è l'unità di misra della differenza di potenziale?

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Risposta

L'unità di misura della differenza di potenziale è il Volt.

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Domanda

La differenza di potenziale dipende dalla carica di prova \(q\). Vero o falso?

Visualizza la risposta

Risposta

Falso. La differenza di potenziale \(\Delta V\) è data dal rapporto tra la differenza di energia potenziale e la carica di prova ed è pari a \(\Delta V =  k Q \left (  \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\).

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Domanda

Qual è l'espressione del potenziale elettrico in un punto P a distanza \(r\) dalla carica puntiforme \(Q\) che genera il campo elettrico?

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Risposta

\( V(r) = kQ \frac{1}{r} \)

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Domanda

Cosa sono le superfici equipotenziali?

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Risposta

Sono le superfici dove il potenziale è lo stesso in tutti i punti.

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Domanda

Il potenziale generato da un sistema di cariche in un punto \(P\) sarà dato dalla somma dei potenziali generati da ciascuna carica. Vero o falso?

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Risposta

Vero. Nel caso di \(n\) cariche si avrà: \( V = k \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{r_i} \), 

dove \(Q_i\) è la i-esima carica e \(r_i\) è la distanza tra il punto \(P\) e \(Q_i\).


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Domanda

Data la caria puntiforme \(Q = - 5 \space \mu C\), calcola la differenza di potenziale tra i punti A e B che distano rispettivamente \(r_A = 5 \space m \) e \(r_B = 1 \space m \) dalla carica \(Q\).

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Risposta

La differenza di potenziale tra i punti A e B è \( \Delta V = -3,6 \cdot 10^3 \space V\).

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Domanda

L'energia potenziale elettrica di un sistema di due cariche è positiva se le cariche hanno segno opposto. Vero o falso?

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Risposta

Falso. L'energia potenziale elettrica di un sistema di due cariche dipende dal prodotto delle medesime. Sarà positiva se le cariche hanno lo stesso segno e negativa se hanno segno opposto. 

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Domanda

IIl potenziale elettrico in un punto P a distanza \(r\) dalla carica \(Q\) che genera il campo elettrico è inversamente proporzionale al quadrato della distanza \(r\). Vero o falso?

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Risposta

Falso. 

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Domanda

A quanto equivale 1 Volt?

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Risposta

1 V = 1 J/C.

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Domanda

La forza elettrica è una forza ____

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Risposta

conservativa.

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Domanda

L'energia potenziale elettrica si misura in ____

Visualizza la risposta

Risposta

Joule.

Visualizza la domanda

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