L'elettricità. Questa parola probabilmente vi fa venire in mente immagini di luci che si accendono, il processo di ricarica del cellulare o persino un fulmine che attraversa il cielo. In questo articolo esploreremo argomenti come l'energia potenziale elettrica, il potenziale elettrico e la carica. Studieremo le loro relazioni e proprietà attraverso definizioni ed esempi. Iniziamo!
Fig. 1 - I fulmini possono trasportare 1 miliardo di volt di elettricità.
Energia potenziale elettrica
Consideriamo una carica di prova \(q\) immersa in un campo elettrico generato dalla carica \(Q\). Quando la carica \(q\) si sposta dalla posizione A alla posizione B, la forza esercitata dalla carica \(Q\) compie un lavoro \(W_{AB}\).
Poiché la forza elettrica è una forza conservativa, possiamo definire un'energia potenziale la cui variazione è uguale al lavoro \(W_{AB}\) (cambiato di segno) che la forza compie per portare la carica da A a B. Possiamo quindi scrivere:
\[\Delta U = - W_{AB} \,.\]
Sappiamo che la carica di prova \(q\) immersa nel campo elettrico generato dalla carica \(Q\) subirà una forza attrattiva o repulsiva a seconda dei segni delle cariche (attrattiva se di segno opposto, repulsiva se di uguale segno). Per spostare la carica di prova da A a B la forza elettrica compierà quindi un lavoro che equivale alla variazione di energia potenziale cambiata di segno.
Partendo dalla definizione di lavoro:
\[ W_{AB} = \int_A^B \vec F \cdot d \vec s \]
e sostituendo nell’integrale l'espressione della forza di Coulomb \( \vec F_C\) in termini del campo elettrico \( \vec E\):
\[ \vec F_C = q \vec E\]
si ottiene, avendo svolto l'integrale, la seguente espressione per il lavoro svolto:
\[ W_{AB}= k Q q \left ( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right )\,. \]
dove \(k\) è detta costante di Coulomb ed è pari a circa \(9 \times 10^9 \, \mathrm N \, \mathrm m^2 \, \mathrm C^{-2}\), \(r_A\) è la distanza di \(q\) da \(Q\) nel punto \(A\) e \(r_B\) è la distanza di \(q\) da \(Q\) nel punto \(B\).
Si arriva quindi alla seguente espressione per la variazione di energia potenziale relativa allo spostamento della carica di prova \(q\) tra il punto A e il punto B:
\[ \Delta U = - W_{AB}= k q Q \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right ) \,.\]
Immaginando di portare la carica \(q\) dall'infinito a un punto a distanza \(r\) da \(Q\), si ha
\[\Delta U = U_r -U_{\infty} \,.\]
Ponendo \(U_{\infty}=0\), si ottiene la seguente espressione per l'energia potenziale:
\[ U(r) = k q Q \frac{1}{r} \,.\]
Notiamo quindi che l'energia potenziale elettrica di un sistema di due cariche è inversamente proporzionale alla distanza tra le due cariche e poiché dipende dal prodotto delle medesime, sarà positiva se le cariche hanno lo stesso segno e negativa se hanno segno opposto.
Nel caso di cariche con lo stesso segno, poiché tenderanno a respingersi, l'energia potenziale sarà uguale al lavoro che occorrebbe compiere per avvicinarle fino alla distanza \(r\). Nel caso di cariche con segno opposto, poiché tenderanno ad avvicinarsi, l'energia potenziale è uguale al lavoro che occorrerebbe compiere per allontanarle fino a distanza infinita.
Differenza di potenziale
Poiché la variazione di energia potenziale dipende dalla carica di prova \(q\), è utile introdurre una grandezza che non dipende dalla carica di prova. Questa grandezza si chiama differenza di potenziale elettrico \( \Delta V \) e si ottiene dividendo l'energia potenziale elettrica \( \Delta U\) per la carica di prova \(q\):
\[ \Delta V = \frac{\Delta U}{q} \,.\]
L’unità di misura della differenza di potenziale è il Volt ( \(1 \, \mathrm V = 1 \, \mathrm J \, \mathrm C\)).
Sostituendo l'espressione per \(\Delta U\) precedentemente ricavata e che riscriviamo qui per comodità
\[ \Delta U = k q Q \left ( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right )\]
si ottiene:
\[ \Delta V = k Q \left ( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\,.\]
Siamo ora pronti per ricavare l'espressione per il potenziale elettrico.
Potenziale elettrico: definizione
Abbiamo trovato la formula per la differenza di potenziale nel caso di un campo generato da una carica puntiforme. Ponendo \(V (\infty) = 0\) (ovvero, potenziale nullo quando le cariche sono a distanza infinita), si ottiene il potenziale in funzione della distanza \(r\) tra \(q\) e \(Q\):
\[ V(r) = kQ \frac{1}{r} \]
Il potenziale elettrico in un punto P a distanza \(r\) dalla carica \(Q\) che genera il campo elettrico è uguale al lavoro per unità di carica necessario a spostare la carica dall'infinito fino al punto P.
Nel caso di una carica puntiforme \(Q\) il potenziale è \( V(r) = kQ \frac{1}{r} \), dove \(r\) è la distanza dalla carica \(Q\) e \(k\) è la costante di Coulomb.
Nel caso di campo generato da una carica puntiforme, le superfici equipotenziali (ovvero, le superfici dove il potenziale è lo stesso in tutti i punti) sono rappresentate da sfere con centro nella carica, come mostrato in Figura 1.
Fig. 1 - Campo elettrico generato d aun elettrone e superfici equipotenziali.
Le linee di campo prodotte da una carica positiva sono uscenti, mentre le linee di campo prodotte da una carica negativa puntano verso di essa.
Potenziale elettrico generato da più cariche
Analogamente a come abbiamo fatto per il campo elettrico, nel caso di un sistema di cariche si applica il principio di sovrapposizione. In altre parole, il potenziale generato da un sistema di cariche in un punto \(P\) sarà dato dalla somma dei potenziali generati da ciascuna carica. Nel caso di \(n\) cariche si avrà quindi:
\[ V = k \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{r_i} \]
dove \(Q_i\) è la i-esima carica e \(r_i\) è la distanza tra il punto \(P\) e \(Q_i\).
Fig. 2 - Linee di campo elettrico e superfici equipotenziali nel caso di un campo generato da due cariche, una positiva (destra) e una negativa (sinistra).
Potenziale elettrico: esercizi
Data la carica puntiforme \(Q = 10 \, \mathrm {\mu C}\), calcola il potenziale in un punto a distanza \(r= 2 \, \mathrm m\) dalla carica \(Q\).
Poiché siamo in presenza di un campo generato da una carica puntiforme, inseriamo i dati del problema nella seguente formula:
\[ V(r) = kQ \frac{1}{r} \]
\[ V (r = 2 \, \mathrm m) = 9 \times 10^9 \, \mathrm N \, \mathrm m^2 \, \mathrm C^{-2} (2 \times 10^{-6}\, \mathrm C) \frac{1}{2 \, \mathrm m} = 9 \times 10^3 \, \mathrm V\]
Data la caria puntiforme \(Q = - 10 \, \mathrm{\mu C}\), calcola la differenza di potenziale tra i punti A e B che distano rispettivamente \(r_A = 3 \, \mathrm m \) e \(r_B = 1 \, \mathrm m \) dalla carica \(Q\).
Siamo in presenza di un campo generato da una carica puntiforme. La differenza di potenziale \( \Delta V = V_B - V_A\) sarà quindi data dalla seguente formula:
\[ \Delta V = k Q \left ( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\]
Inserendo i dati si ottiene:
\[ \Delta V = 9 \times 10^9 \, \mathrm N \, \mathrm m^2 \, \mathrm C^{-2} (- 10 \times 10^{-6} \mathrm C) \left ( \frac{1}{1 \, \mathrm m} - \frac{1}{3 \, \mathrm m} \right ) = - 6 \times 10^4 \, \mathrm V\]
Trova il valore della forza elettrica che il protone esercita sull'elettrone mostrato in Figura 4. Qual è il valore del potenziale elettrico che il protone genera nella posizione dell'elettrone? Utilizza \(-1,602\times 10^{-19}\,\mathrm{C}\) per la carica di un elettrone e \(1,602\times 10^{-19}\,\mathrm{C}\) per la carica di un protone. Ricorda che un nanometro equivale a \(10^{-9}\) metri.
Fig. 4 - La distanza (in \(\mathrm{nm}\) tra l'elettrone e il protone è mostrata nel grafico.
Dobbiamo trovare la distanza tra le due cariche. Si noti che la griglia in Figura 1 ha come unità di misura i nanometri. Per trovare la distanza tra il protone e l'elettrone, possiamo usare il teorema di Pitagora:
$$r = \sqrt{(4\,\mathrm{nm})^2 + (4\,\mathrm{nm})^2} = 4\sqrt{2} \,\mathrm{nm}.$$
Ora troviamo la forza elettrica utilizzando l'equazione per due cariche puntiformi:
$$\begin{align*} |\vec F_E | &= \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{|q_1 q_2 |}{r^2} \\ &= \frac{1}{4\pi (8.85\times 10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)})} \frac{(1.602\times 10^{-19}\,\mathrm{C})^2}{(4\sqrt{2}\,\mathrm{nm})^2} \\ &= \frac{1\,\mathrm{N\,m^2}}{4\pi (8.85\times 10^{-12}\,\mathrm{C^2})} \frac{2.566\times 10^{-38}\,\mathrm{C^2}}{(4\sqrt{2} \times 10^{-9}\,\mathrm{m})^2} \\ |\vec F_E| &= 7.21\times 10^{-12}. \\ \end{align*}$$
Infine, troviamo il potenziale elettrico \(V\) che il protone genera nella posizione dell'elettrone:
$$\begin{align*} V&= \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{q}{r} \\ &= \frac{1}{4\pi (8.85\times 10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2))}} \frac{1.602\times 10^{-19}\,\mathrm{C}}{4\sqrt{2}\times 10^{-9}\,\mathrm{m}} \\ V &= 0.25\,\mathrm{V}. \\ \end{align*}$$
L'esempio precedente ci dice che il valore del potenziale elettrico che esiste tra un protone e un elettrone distanti \(4\sqrt{2}\) nanometri è pari a circa \(0,25\,\mathrm{V}\). Per mettere questo dato in prospettiva, la tua lampadina media contiene circa \(120\,\mathrm{V}\), ovvero circa \(473\) volte il potenziale elettrico tra il protone e l'elettrone. Ma aspetta, non avevamo detto che un fulmine genera \(1\) miliardo di volt di elettricità? Sono un sacco di lampadine! Quasi \(8\,333\,333\)!
Potenziale elettrico - Punti chiave
- Il potenziale elettrico e l'energia potenziale elettrica sono due grandezze distinte.
- La differenza di energia potenziale è data dal lavoro (cambiato di segno) compiuto dalla forza elettrica per spostare una carica da un punto A a un punto B.
- La differenza di potenziale è data dal rapporto tra l'energia potenziale elettrica e la carica di prova stessa.
- Il potenziale elettrico non dipende dalla carica di prova ed è definito considerando nullo il suo valore a distanza infinita. Il potenziale generato da una carica puntiforme \(Q\) nel punto a distanza \(r\) da \(Q\) è \( V(r) = kQ \frac{1}{r} \), dove \(k\) è la costante di Coulomb.
- Le superfici equipotenziali sono quelle superfici dove il valore del potenziale è lo stesso in tutti i punti. Nel caso di campo generato da una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono rappresentate da sfere con centro nella carica.
References
- Fig. 2 - Electric-dipole-field-lines-and-equipotential-lines.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electric-dipole-field-lines-and-equipotential-lines.svg) by Geek3 (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Geek3) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
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