Potenziale elettrico

Energia potenziale elettrica

Consideriamo una carica di prova \(q\) immersa in un campo elettrico generato dalla carica \(Q\). Quando la carica \(q\) si sposta dalla posizione A alla posizione B, la forza esercitata dalla carica \(Q\) compie un lavoro \(W_{AB}\).

Poiché la forza elettrica è una forza conservativa, possiamo definire un'energia potenziale la cui variazione è uguale al lavoro \(W_{AB}\) (cambiato di segno) che la forza compie per portare la carica da A a B. Possiamo quindi scrivere:

\[\Delta U = - W_{AB} \,.\]

Sappiamo che la carica di prova \(q\) immersa nel campo elettrico generato dalla carica \(Q\) subirà una forza attrattiva o repulsiva a seconda dei segni delle cariche (attrattiva se di segno opposto, repulsiva se di uguale segno). Per spostare la carica di prova da A a B la forza elettrica compierà quindi un lavoro che equivale alla variazione di energia potenziale cambiata di segno.

Partendo dalla definizione di lavoro:

\[ W_{AB} = \int_A^B \vec F \cdot d \vec s \]

e sostituendo nell’integrale l'espressione della forza di Coulomb \( \vec F_C\) in termini del campo elettrico \( \vec E\):

\[ \vec F_C = q \vec E\]

si ottiene, avendo svolto l'integrale, la seguente espressione per il lavoro svolto:

\[ W_{AB}= k Q q \left ( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right )\,. \]

dove \(k\) è detta costante di Coulomb ed è pari a circa \(9 \times 10^9 \, \mathrm N \, \mathrm m^2 \, \mathrm C^{-2}\), \(r_A\) è la distanza di \(q\) da \(Q\) nel punto \(A\) e \(r_B\) è la distanza di \(q\) da \(Q\) nel punto \(B\).

Si arriva quindi alla seguente espressione per la variazione di energia potenziale relativa allo spostamento della carica di prova \(q\) tra il punto A e il punto B:

\[ \Delta U = - W_{AB}= k q Q \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right ) \,.\]

Immaginando di portare la carica \(q\) dall'infinito a un punto a distanza \(r\) da \(Q\), si ha

\[\Delta U = U_r -U_{\infty} \,.\]

Ponendo \(U_{\infty}=0\), si ottiene la seguente espressione per l'energia potenziale:

\[ U(r) = k q Q \frac{1}{r} \,.\]

Notiamo quindi che l'energia potenziale elettrica di un sistema di due cariche è inversamente proporzionale alla distanza tra le due cariche e poiché dipende dal prodotto delle medesime, sarà positiva se le cariche hanno lo stesso segno e negativa se hanno segno opposto.

Nel caso di cariche con lo stesso segno, poiché tenderanno a respingersi, l'energia potenziale sarà uguale al lavoro che occorrebbe compiere per avvicinarle fino alla distanza \(r\). Nel caso di cariche con segno opposto, poiché tenderanno ad avvicinarsi, l'energia potenziale è uguale al lavoro che occorrerebbe compiere per allontanarle fino a distanza infinita.

Differenza di potenziale

Poiché la variazione di energia potenziale dipende dalla carica di prova \(q\), è utile introdurre una grandezza che non dipende dalla carica di prova. Questa grandezza si chiama differenza di potenziale elettrico \( \Delta V \) e si ottiene dividendo l'energia potenziale elettrica \( \Delta U\) per la carica di prova \(q\):

\[ \Delta V = \frac{\Delta U}{q} \,.\]

L’unità di misura della differenza di potenziale è il Volt ( \(1 \, \mathrm V = 1 \, \mathrm J \, \mathrm C\)).

Sostituendo l'espressione per \(\Delta U\) precedentemente ricavata e che riscriviamo qui per comodità

\[ \Delta U = k q Q \left ( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right )\]

si ottiene:

\[ \Delta V = k Q \left ( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right )\,.\]

Siamo ora pronti per ricavare l'espressione per il potenziale elettrico.

Potenziale elettrico: definizione

Abbiamo trovato la formula per la differenza di potenziale nel caso di un campo generato da una carica puntiforme. Ponendo \(V (\infty) = 0\) (ovvero, potenziale nullo quando le cariche sono a distanza infinita), si ottiene il potenziale in funzione della distanza \(r\) tra \(q\) e \(Q\):

\[ V(r) = kQ \frac{1}{r} \]

Nel caso di campo generato da una carica puntiforme, le superfici equipotenziali (ovvero, le superfici dove il potenziale è lo stesso in tutti i punti) sono rappresentate da sfere con centro nella carica, come mostrato in Figura 1.

Fig. 1 - Campo elettrico generato d aun elettrone e superfici equipotenziali.

Potenziale elettrico generato da più cariche

Analogamente a come abbiamo fatto per il campo elettrico, nel caso di un sistema di cariche si applica il principio di sovrapposizione. In altre parole, il potenziale generato da un sistema di cariche in un punto \(P\) sarà dato dalla somma dei potenziali generati da ciascuna carica. Nel caso di \(n\) cariche si avrà quindi:

\[ V = k \sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{r_i} \]

dove \(Q_i\) è la i-esima carica e \(r_i\) è la distanza tra il punto \(P\) e \(Q_i\).

Fig. 2 - Linee di campo elettrico e superfici equipotenziali nel caso di un campo generato da due cariche, una positiva (destra) e una negativa (sinistra).

Potenziale elettrico: esercizi

L'esempio precedente ci dice che il valore del potenziale elettrico che esiste tra un protone e un elettrone distanti \(4\sqrt{2}\) nanometri è pari a circa \(0,25\,\mathrm{V}\). Per mettere questo dato in prospettiva, la tua lampadina media contiene circa \(120\,\mathrm{V}\), ovvero circa \(473\) volte il potenziale elettrico tra il protone e l'elettrone. Ma aspetta, non avevamo detto che un fulmine genera \(1\) miliardo di volt di elettricità? Sono un sacco di lampadine! Quasi \(8\,333\,333\)!

References

1. Fig. 2 - Electric-dipole-field-lines-and-equipotential-lines.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electric-dipole-field-lines-and-equipotential-lines.svg) by Geek3 (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Geek3) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)