C'era una volta un uomo di nome Archimede cui era stato affidato il compito di capire se una corona fosse d'oro o falsa, senza rovinarla. A causa della strana forma della corona, non conosceva il suo volume per capire quanto fosse densa.
Un giorno, Archimede fece un bagno e notò che l'acqua della vasca si alzava a seconda di quanta parte del suo corpo si trovava nell'acqua. Il volume della parte sommersa del suo corpo era uguale a quello dell'acqua che si alzava, o, in altre parole, si spostava. Si rese così conto che in questo modo avrebbe potuto determinare il volume della corona e confrontarne il peso con quello dello stesso volume d'oro puro per vedere se pesavano allo stesso modo. L'idea lo colpì a tal punto che corse nudo per la città gridando: "Eureka!".
Questo momento di illuminazione portò alla formulazione del principio di Archimede.
Principio di Archimede: enunciato
Non è chiaro se la storia che abbiamo appena raccontato si sia realmente svolta in questo modo. A prescindere da come sia nata l'idea, è necessario capire cosa si intende per principio di Archimede.
Il principio di Archimede afferma che la spinta di galleggiamento verso l'alto ricevuta da un corpo immerso in un fluido è uguale al peso del fluido spostato dal corpo.
Prima di passare alla trattazione matematica, vediamo una spiegazione intuitiva!
Spiegazione intuitiva
Se immergiamo in un bicchiere pieno d'acqua un cubetto di plastica pieno di acqua esso galleggerà in equilibrio con l'acqua circostante perché l'acqua ha la stessa densità. Le forze che agiscono sul cubo sono la forza di gravità diretta verso il basso e la forza di galleggiamento diretta verso l'alto. Poiché il cubo non sta accelerando, per la seconda legge di Newton, queste forze sommate sono pari a zero. Ciò significa che la forza di galleggiamento è uguale al peso dell'acqua nel cubo.
E se sostituissimo il cubetto di plastica pieno d'acqua con un cubetto di metallo delle stesse dimensioni? La forza di galleggiamento che agisce su di esso sarebbe uguale al peso dell'acqua che il cubo può contenere. Ma ora il peso del cubo è maggiore, quindi cadrà sul fondo del bicchiere. Se si provasse a sollevare il cubo dal fondo, quest'ultimo sembrerebbe più leggero di quanto non sia in realtà a causa della forza di galleggiamento che lo spinge verso l'alto.
Spiegazione matematica
Consideriamo l'esempio di un cubetto immerso in un fluido. Quando immergiamo un oggetto in un fluido, quest'ultimo esercita una pressione su tutti i lati dell'oggetto, ma possiamo semplificare le forze agenti in un'unica forza verso il basso e un'unica forza verso l'alto. Infatti, poiché le pressioni orizzontali che agiscono sul cubo sono uguali e opposte, la loro somma è uguale a zero e possiamo quindi trascurarle nella nostra trattazione.
La pressione agente sulla superficie del cubo è uguale alla forza \(F\) per unità di superficie \(A\), ovvero:
$$P=\frac{F}{A}, $$
Possiamo anche dire che la pressione è uguale alla densità del fluido \( \rho_\mathrm{f}\) moltiplicata per la gravità e l'altezza del fluido sopra l'oggetto \(h\):
$$P=\rho_\mathrm{f} gh.$$
Utilizzando queste due equazioni, l'equazione per la forza che agisce sulla sommità del cubo sarebbe la seguente:
$$F_1=\rho_\mathrm{f} gh_1 A\, ,$$
mentre la forza che agisce sul fondo del cubo sarebbe:
$$F_2=\rho_\mathrm{f} g h_2 A\, .$$
Per trovare la spinta di galleggiamento, dobbiamo calcolare la differenza tra la forza che agisce sulla parte superiore e quella che agisce sulla parte inferiore:
$$F_2 - F_1 = \rho_\mathrm{f} g (h_2 - h_1)A\,.$$
Poiché \(h_2-h_1\) non è che l'altezza del cubo, moltiplicandola per la faccia del cubo, \(A\), si ottiene il volume del cubo, o meglio, il volume d'acqua che il cubo ha spostato. Chiamando \(F_\mathrm{a}= F_2 - F_1\) e \( V_\mathrm{f} = (h_2 -h_1) A\), otteniamo la seguente equazione per la forza di galleggiamento:
$$F_\mathrm{a} = \rho_\mathrm{f} V_\mathrm{f} g\,.$$
La massa è uguale alla densità per il volume,
$$m=\rho V,$$ quindi possiamo sostituire la massa del liquido con la densità e il volume del liquido e scrivere:
$$F_\mathrm{a}=m_\mathrm{f} g\,.$$
Poiché il peso è uguale alla massa per la gravità, questo risultato significa che la forza di galleggiamento è uguale al peso del fluido spostato, proprio come aveva detto Archimede.
La pressione aumenta all'aumentare della profondità del liquido, ma ciò non significa che la forza di galleggiamento aumenti. L'altezza dell'oggetto rimane invariata, quindi la differenza di pressione tra la parte superiore e quella inferiore dell'oggetto rimane costante indipendentemente dalla profondità dell'oggetto nel liquido. La forza di galleggiamento dipende solo dal peso del liquido spostato e dalla gravità, non dalla profondità dell'oggetto.
Principio di Archimede: formule
Come appena dimostrato, il principio di Archimede si traduce nella seguente formula per il galleggiamento:
$$F_\mathrm{a}=m_\mathrm{f} g\,.$$
Si può anche usare la seguente equazione, sostituendo la massa con la densità moltiplicata per il volume, come abbiamo descritto sopra:
$$F_\mathrm{a}=\rho_\mathrm{f} V_\mathrm{f} g\,.$$
Entrambe le equazioni hanno lo stesso significato; quella da utilizzare dipende dalle informazioni che ci vengono date dal problema. Un punto cruciale è che si usano la massa, la densità o il volume del fluido spostato, non dell'oggetto.
Principio di Archimede e galleggiamento
Se immergiamo un sasso in un secchio pieno d'acqua, questo affonderà. Il volume di liquido spostato sarà pertanto tutto il volume del sasso. Tuttavia, se immaginiamo un corpo semi-sommerso, il volume immerso (ovvero, il volume di fluido spostato) e il volume del corpo non coincidono. Per questo motivo è importante ricordare che il volume utilizzato è quello del fluido spostato dal liquido, non il volume dell'oggetto!
Fig. 1 - Il cubetto galleggia quando la parte di volume immersa sposta un volume di liquido il cui peso uguaglia quello del cubetto.
La spinta di Archimede tende a spingere il corpo immerso verso l'alto, contrastando quindi la forza peso del corpo.
- Quando la spinta di Archimede è minore della forza peso (\(F_\mathrm{a} <F_\mathrm{p}\)), il corpo affonda.
- Quando la spinta di Archimede è maggiore della forza peso (\(F_\mathrm{a} >F_\mathrm{p}\)), il corpo è spinto verso la superficie dove raggiunge una condizione di equilibrio (\(F_\mathrm{a} =F_\mathrm{p}\)), galleggiando con una parte del suo volume immersa. La parte di volume immersa è quella che sposta un volume di liquido il cui peso uguaglia quello del corpo.
Principio di Archimede: esempi
Di seguito sono riportati alcuni esercizi svolti per comprendere meglio il principio di Archimede.
Consideriamo un cubo che, immerso in un liquido, affonda. Se ogni lato è lungo \(0{,}25\,\mathrm{m}\), il cubo pesa \(16\,\mathrm{kg}\) e la densità dell'acqua è \(1000\,\mathrm{kg/m^3}\), qual è la forza di galleggiamento che agisce sul cubo?
Poiché il cubo affonda, sappiamo già che la spinta di Archimede è minore della forza peso (\(F_\mathrm{a} <F_\mathrm{p}\)) e che il volume di liquido spostato coincide con il volume del cubo.
Possiamo calcolare la spinta di galleggiamento inserirendo nella relativa formula la densità dell'acqua, il volume dell'acqua spostato dal cubo (che in questo caso è uguale al volume del cubo, poiché sappiamo che il cubo è completamente sommerso) e l'accelerazione di gravità:
\[F_\mathrm{a} = \rho_\mathrm{f} V_\mathrm{f} g = (1000\, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) (0{,}25\, \mathrm{m})^3 (9{,}81 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2) = 153 \, \mathrm{N} \]
Possiamo confrontare questo numero con la forza peso del cubo per assicurarci che sia completamente sommerso:
\[ F_\mathrm{p}= m_\mathrm{c} g = (16\, \mathrm{kg})(9{,}81 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2) = 157 \, \mathrm{N}\]
Notiamo quindi che la forza peso è maggiore della forza di galleggiamento, come ci aspettavamo.
Consideriamo ora un cubo galleggiante.
Supponiamo che lo stesso cubo dell'esempio precedente pesi \(13\,\mathrm{kg}\) invece di \(16\,\mathrm{kg}\). Questo fa sì che il cubo galleggi, ma non sappiamo quanta parte di esso sporga dall'acqua. Quale percentuale del cubo si trova sott'acqua?
Possiamo scrivere l'equazione della forza di galleggiamento che abbiamo usato in precedenza, ma questa volta non possiamo usare lo stesso volume del cubo perché non sappiamo a che profondità sia immerso. Scriviamo quindi il volume come prodotto dell'area \(A\), che conosciamo, moltiplicata per l'altezza \(h\) che ancora non conosciamo:
$$F_\mathrm{a} = \rho_\mathrm{f} (Ah) g$$
Possiamo scrivere la forza di galleggiamento anche utilizzando la massa del cubo, \(m_\mathrm{c}\), moltiplicata per la gravità:
$$F_\mathrm{a} = m_\mathrm{c} g$$
Uguagliando queste due equazioni possiamo ricavare l'altezza sconosciuta:
$$m_\mathrm{c} g = \rho_\mathrm{f} (Ah) g$$
da cui
$$ h = \frac{m_\mathrm{c}}{\rho_\mathrm{f}A}= \frac{13\, \mathrm{kg}}{(1000\, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) (0{,}25\, \mathrm{m})^2}= 0{,}208\, \mathrm{m}\,.$$
L'altezza del cubo sommerso è, quindi:
$$h=0{,}208\,\mathrm{m}$$
Per sapere quanta parte del cubo è sommersa, possiamo creare un rapporto tra il volume sott'acqua e il volume totale:
$$\frac{V_\mathrm{sommerso}}{V_\mathrm{totale}}=\frac{Ah_\mathrm{sommerso}}{Ah_\mathrm{totale}}$$
Le aree si annullano perché sono uguali, quindi possiamo inserire i valori delle altezze:
$$\frac{V_\mathrm{sommerso}}{V_\mathrm{totale}}=\frac{h_\mathrm{sommerso}}{h_\mathrm{totale}}= \frac{0{,}208\,\mathrm{m}}{0{,}25\,\mathrm{m}}= 0{,}83\,.$$
Il cubo è immerso nell'acqua per l'83%.
Applicazioni del principio di Archimede
Il principio di Archimede è importante in molti progetti ingegneristici. Alcune applicazioni del principio di Archimede sono le seguenti:
- La comprensione del principio di Archimede consente agli ingegneri di progettare navi che galleggiano anche se sono fatte di materiali pesanti.
- Gli idrometri utilizzano il principio di Archimede per determinare la densità dei fluidi.
- I sottomarini utilizzano il principio di Archimede per controllare il modo in cui si alzano e si immergono nell'acqua.
- Il principio di Archimede consente agli ingegneri di progettare giubbotti di salvataggio in grado di tenere a galla un corpo umano.
Il principio di Archimede - Punti chiave
- Il principio di Archimede afferma che la forza di galleggiamento verso l'alto di un oggetto è uguale al peso del fluido che l'oggetto ha spostato (\(F_\mathrm{a} = m_\mathrm{f} g\)).
- Quando si trova la forza di galleggiamento, si utilizza sempre la massa, o la densità e il volume, del fluido, piuttosto che dell'oggetto.
- Quando un oggetto galleggia in un fluido senza altre forze esterne, la forza di galleggiamento è uguale al peso dell'oggetto.
- Il principio di Archimede trova applicazioni in diversi progetti ingegneristici legati al galleggiamento.
References
- Fig. 1 - Archimedes principle.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_principle.svg) by Jooja (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Jooja) is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
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