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Pressione idrostatica: definizione
Rivediamo innanzitutto il concetto di pressione. La pressione indica la forza esercitata per unità di superficie ed è definita dalla seguente formula:
\[P = \frac{F}{A}\,,\]
dove \(F\) è la forza e \(A\) è la superficie su cui la forza è applicata.
Con l'espressione "pressione idrostatica" si indica la pressione esercitata in un punto dalla colonna di fluido sovrastante.
La pressione idrostatica è definita come la forza esercitata da un fluido in quiete sull'unità di superficie con cui è in contatto normalmente a essa.
Il valore della pressione idrostatica dipende dal valore della densità del fluido e dalla profondità del punto considerato. Per calcolare la pressione idrostatica abbiamo bisogno della legge di Stevino. Vediamo insieme come utlizzarla!
Pressione idrostatica e legge di Stevino
La legge di Stevino, formulata dall'ingegnere, fisico e matematico Simon Stevin, permette di calcolare la pressione a ogni profondità di una colonna di fluido conoscendo la densità del liquido.
Fig. 1 - Statua di Simon Stevin a Bruges (Belgio).
La legge di Stevino (o legge di Stevin) afferma che la pressione esercitata da un fluido a una profondità \(h\) è pari al prodotto della densità \(\rho\) del fluido per l'accelerazione di gravità \(g\) per la profondità:
\[P = \rho g h\,.\]
Questa pressione, dovuta soltanto alla colonna di liquido sovrastante, è detta pressione idrostatica.
Fig. 1 - La pressione idrostatica è direttamente proporzionale alla profondità \(h\).
Questo significa che la pressione aumenta con la profondità (aumenta cioè all'aumentare di \(h\)) e che si hanno delle superfici isobare (ovvero, a pressione costante) orizzontali.
Poiché la pressione aumenta linearmente con la profondità, può essere espressa dalla seguente relazione:
\[ P = k h\,,\]
con \(k= \rho g >0\). In un grafico pressione-profondità, questa relazione sarà rappresentata da una retta che passa per l'origine e ha un coefficiente angolare pari a \( \rho g \).
In realtà, l'accelerazione di gravità \(g\) non è costante, ma varia al variare dalla distanza dal centro della Terra. Tuttavia, nelle nostre applicazioni, si può considerare costante.
Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi. Ad esempio, la pressione a una profondità \(h\) di un recipiente pieno d'acqua a contatto con l'atmosfera è data dalla seguente somma:
\[P = \rho g h + P_0\, ,\]
dove \(P_0\) è la pressione esercitata dalla colonna d'aria sovrastante che coincide con la pressione atmosferica \(P_\mathrm{atm}= 101\,325 \, \mathrm{Pa}\) a livello del mare.
In questo caso, la relazione tra pressione e profondità è rappresentata dalla seguente espressione:
\[ P = k h + Q\,,\]
dove l'intercetta \(Q\) coincide con \(P_0\).
Ricorda che \(h\) è la profondità e non l'altezza calcolata a partire dal fondo! In questo caso, \(h\), è la distanza tra la posizione del corpo immerso e la superficie del liquido. Quindi, se ci troviamo immersi in acqua a una profondità di \(4\, \mathrm{m}\), si avrà \(h = 4\, \mathrm{m}\), avendo considerato un sistema di riferimento in cui la quota \(h=0\) coincide con la superficie dell'acqua.
Si distinguono, quindi, due casi:
- Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente chiuso a una profondità \(h\) agisce una pressione pari a \(P = \rho g h\).
- Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente aperto a una profondità \(h\) agisce una pressione pari a \(P = \rho g h + P_0\). A livello del mare si ha \(P_0= P_\mathrm{atm}\), mentre a quote superiori si ha \(P_0 < P_\mathrm{atm}\).
Pressione idrostatica: esercizi
Un oblò di un sottomarino che si trova a \(20\, \mathrm{m}\) di profondità ha un diametro di \(40\, \mathrm{cm}\). Assumendo che la densità dell'acqua sia di \(1\,000\, \mathrm{kg}/{m}^2\), calcola la forza esercitata sull'oblò dall'esterno.
Fig. 2 - Sottomarino sovietico TK-202 del Progetto 941 della classe "Akula".
Applicando la legge di Stevino, la pressione esercitata alla profondità di \(20\, \mathrm{m}\) è pari a:
\[P = \rho g h + P_\mathrm{atm}= 1\,000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 20\, \mathrm{m} +101\,325 \, \mathrm{Pa} = 297\,325 \, \mathrm{Pa}\,. \]
Calcoliamo ora la superficie dell'oblò, assumendo che sia circolare:
\[A = \pi r^2 = \pi (\frac{0,4 \, m}{2} )^2 = 0{,}1245 \, \mathrm{m}^2\,. \]
Quindi, la forza esercitata dall'acqua sull'oblò sarà:
\[ F = P \cdot A = 297\,325\, \mathrm{Pa} \cdot 0{,}1245\, \mathrm{m}^2 \approx 3{,}7 \times 10^4 \, \mathrm{N}\,. \]
Vediamo ora un esempio più comune.
Una pompa idraulica ha il compito di sollevare l'acqua fino all'altezza di \(100\, \mathrm{m}\). Quale pressione deve esercitare?
Per sollevare l'acqua fino a un'altezza \(h\) occorre applicare una pressione almeno pari alla pressione idrostatica prodotta da una colonna d'acqua alta \(h\). Questa pressione è data dalla legge di Stevino:
\[P_\mathrm{Stev} = \rho g h\]
Quindi,
\[P= P_\mathrm{Stev} = 1000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 100 \, \mathrm{m} = 981\,000 \, \mathrm{Pa}\]
La pressione minima che deve esercitare la pompa è di \( 981\,000\, \mathrm{Pa}\).
La pressione idrostatica - Punti chiave
- La pressione idrostatica è definita come la forza esercitata da un fluido in quiete sull'unità di superficie con cui è in contatto normalmente a essa.
- La legge di Stevino afferma che la pressione esercitata da un fluido a una profondità \(h\) è pari al prodotto della densità \(\rho\) del fluido per l'accelerazione di gravità \(g\) per la profondità: \(P = \rho g h\). Questa pressione è detta pressione idrostatica.
- Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi.
References
- Fig. 1 - Standbeeld van Simon Stevin door Louis Eugène Simonis (1810-1893) - Simon Stevinplein, Brugge.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standbeeld_van_Simon_Stevin_door_Louis_Eug%C3%A8ne_Simonis_(1810-1893)_-_Simon_Stevinplein,_Brugge.jpg) by Ad Meskens (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:AdMeskens) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
- Fig. 2 - Hydrostatic-pressure.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hydrostatic-pressure.svg) by MikeRun is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
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Domande frequenti riguardo Pressione idrostatica
Che cosa si intende per pressione idrostatica?
La pressione idrostatica è definita come la forza esercitata da un fluido in quiete sull'unità di superficie con cui è in contatto normalmente a essa.
Quando aumenta la pressione idrostatica?
La pressione idrostatica, definita dalla legge di Stevino come la pressione esercitata dalla colonna di liquido sovrastante il corpo immerso, è pari al prodotto della densità ρ del fluido per l'accelerazione di gravità g per la profondità h: P = ρ g h.
Dalla formula si può vedere che la pressione idrostatica aumenta con la profondità h, ovvero, con distanza tra la posizione del corpo immerso e la superficie del liquido.
Come si fa a calcolare la pressione idrostatica?
La pressione idrostatica si calcola a partire dalla legge di Stevino, la quale afferma che la pressione esercitata da un fluido a una profondità h è pari al prodotto della densità ρ del fluido per l'accelerazione di gravità g per la profondità h: P = ρ g h.
Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi. Ad esempio, la pressione a una profondità h di un recipiente pieno d'acqua a contatto con l'atmosfera è data dalla seguente somma: P = ρ g h + P0 dove è la pressione atmosferica (P0 = Patm = 101 325 Pa a livello del mare).
Quale pressione si ha nel mare a 10 m di profondità?
Per calcolare la pressione nel mare a 10 m di profondità si usa la legge di Stevino: P = ρ g h + Patm = (1000 kg/m3) ⋅ (9,81 m/s2) ⋅ (10 m) + 101 325 Pa = 199 425 Pa.
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