Prendi una bottiglia di plastica e una bacinella. Fai 3 fori ad altezze diverse nella bottiglia e poi riempi la bottiglia con dell'acqua (ma fallo dopo aver posto una bacinella sotto di essa per raccogliere l'acqua uscente dai fori!). Come potrai notare, l'acqua uscente dal foro più in basso arriva più lontano rispetto all'acqua uscente dai fori posti più in alto. In particolare, l'acqua arriverà tanto più lontano quanto più basso è il foro. Perché questo accade? Possiamo rispondere a questa domanda dopo aver studiato il concetto di pressione idrostatica e la legge di Stevino. Iniziamo!
Pressione idrostatica: definizione
Rivediamo innanzitutto il concetto di pressione. La pressione indica la forza esercitata per unità di superficie ed è definita dalla seguente formula:
\[P = \frac{F}{A}\,,\]
dove \(F\) è la forza e \(A\) è la superficie su cui la forza è applicata.
Con l'espressione "pressione idrostatica" si indica la pressione esercitata in un punto dalla colonna di fluido sovrastante.
La pressione idrostatica è definita come la forza esercitata da un fluido in quiete sull'unità di superficie con cui è in contatto normalmente a essa.
Il valore della pressione idrostatica dipende dal valore della densità del fluido e dalla profondità del punto considerato. Per calcolare la pressione idrostatica abbiamo bisogno della legge di Stevino. Vediamo insieme come utlizzarla!
Pressione idrostatica e legge di Stevino
La legge di Stevino, formulata dall'ingegnere, fisico e matematico Simon Stevin, permette di calcolare la pressione a ogni profondità di una colonna di fluido conoscendo la densità del liquido.
Fig. 1 - Statua di Simon Stevin a Bruges (Belgio).
La legge di Stevino (o legge di Stevin) afferma che la pressione esercitata da un fluido a una profondità \(h\) è pari al prodotto della densità \(\rho\) del fluido per l'accelerazione di gravità \(g\) per la profondità:
\[P = \rho g h\,.\]
Questa pressione, dovuta soltanto alla colonna di liquido sovrastante, è detta pressione idrostatica.
Fig. 1 - La pressione idrostatica è direttamente proporzionale alla profondità \(h\).
Questo significa che la pressione aumenta con la profondità (aumenta cioè all'aumentare di \(h\)) e che si hanno delle superfici isobare (ovvero, a pressione costante) orizzontali.
Poiché la pressione aumenta linearmente con la profondità, può essere espressa dalla seguente relazione:
\[ P = k h\,,\]
con \(k= \rho g >0\). In un grafico pressione-profondità, questa relazione sarà rappresentata da una retta che passa per l'origine e ha un coefficiente angolare pari a \( \rho g \).
In realtà, l'accelerazione di gravità \(g\) non è costante, ma varia al variare dalla distanza dal centro della Terra. Tuttavia, nelle nostre applicazioni, si può considerare costante.
Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi. Ad esempio, la pressione a una profondità \(h\) di un recipiente pieno d'acqua a contatto con l'atmosfera è data dalla seguente somma:
\[P = \rho g h + P_0\, ,\]
dove \(P_0\) è la pressione esercitata dalla colonna d'aria sovrastante che coincide con la pressione atmosferica \(P_\mathrm{atm}= 101\,325 \, \mathrm{Pa}\) a livello del mare.
In questo caso, la relazione tra pressione e profondità è rappresentata dalla seguente espressione:
\[ P = k h + Q\,,\]
dove l'intercetta \(Q\) coincide con \(P_0\).
Ricorda che \(h\) è la profondità e non l'altezza calcolata a partire dal fondo! In questo caso, \(h\), è la distanza tra la posizione del corpo immerso e la superficie del liquido. Quindi, se ci troviamo immersi in acqua a una profondità di \(4\, \mathrm{m}\), si avrà \(h = 4\, \mathrm{m}\), avendo considerato un sistema di riferimento in cui la quota \(h=0\) coincide con la superficie dell'acqua.
Un oblò di un sottomarino che si trova a \(20\, \mathrm{m}\) di profondità ha un diametro di \(40\, \mathrm{cm}\). Assumendo che la densità dell'acqua sia di \(1\,000\, \mathrm{kg}/{m}^2\), calcola la forza esercitata sull'oblò dall'esterno.
Fig. 2 - Sottomarino sovietico TK-202 del Progetto 941 della classe "Akula".
Applicando la legge di Stevino, la pressione esercitata alla profondità di \(20\, \mathrm{m}\) è pari a:
\[P = \rho g h + P_\mathrm{atm}= 1\,000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 20\, \mathrm{m} +101\,325 \, \mathrm{Pa} = 297\,325 \, \mathrm{Pa}\,. \]
Calcoliamo ora la superficie dell'oblò, assumendo che sia circolare:
\[A = \pi r^2 = \pi (\frac{0,4 \, m}{2} )^2 = 0{,}1245 \, \mathrm{m}^2\,. \]
Quindi, la forza esercitata dall'acqua sull'oblò sarà:
\[ F = P \cdot A = 297\,325\, \mathrm{Pa} \cdot 0{,}1245\, \mathrm{m}^2 \approx 3{,}7 \times 10^4 \, \mathrm{N}\,. \]
Vediamo ora un esempio più comune.
Una pompa idraulica ha il compito di sollevare l'acqua fino all'altezza di \(100\, \mathrm{m}\). Quale pressione deve esercitare?
Per sollevare l'acqua fino a un'altezza \(h\) occorre applicare una pressione almeno pari alla pressione idrostatica prodotta da una colonna d'acqua alta \(h\). Questa pressione è data dalla legge di Stevino:
\[P_\mathrm{Stev} = \rho g h\]
Quindi,
\[P= P_\mathrm{Stev} = 1000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 100 \, \mathrm{m} = 981\,000 \, \mathrm{Pa}\]
La pressione minima che deve esercitare la pompa è di \( 981\,000\, \mathrm{Pa}\).
La pressione idrostatica - Punti chiave
- La pressione idrostatica è definita come la forza esercitata da un fluido in quiete sull'unità di superficie con cui è in contatto normalmente a essa.
- La legge di Stevino afferma che la pressione esercitata da un fluido a una profondità \(h\) è pari al prodotto della densità \(\rho\) del fluido per l'accelerazione di gravità \(g\) per la profondità: \(P = \rho g h\). Questa pressione è detta pressione idrostatica.
- Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi.
References
- Fig. 1 - Standbeeld van Simon Stevin door Louis Eugène Simonis (1810-1893) - Simon Stevinplein, Brugge.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standbeeld_van_Simon_Stevin_door_Louis_Eug%C3%A8ne_Simonis_(1810-1893)_-_Simon_Stevinplein,_Brugge.jpg) by Ad Meskens (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:AdMeskens) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
- Fig. 2 - Hydrostatic-pressure.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hydrostatic-pressure.svg) by MikeRun is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
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