Quando un'onda viene emessa, come un'onda sonora o luminosa, ha una lunghezza d'onda e una frequenza associate, che sono inversamente correlate. La frequenza (o la lunghezza d'onda) è legata all'energia che un'onda trasporta. Più alta è la frequenza (più corta è la lunghezza d'onda), più alta è l'energia. Se la sorgente dell'onda o chi la riceve è in movimento, la frequenza/lunghezza d'onda misurata cambia. Questo fenomeno è noto come effetto Doppler.
Effetto Doppler: definizione
L'effetto Doppler è la variazione misurata della frequenza di un'onda quando la sorgente che la emette si sposta rispetto all'osservatore.
L'effetto Doppler è solo una variazione apparente: l'onda non cambia la sua lunghezza d'onda se misurata nel proprio sistema di riferimento.
- Nel suono, l'effetto Doppler provoca una variazione dell'altezza percepita del suono, rendendolo più acuto o più grave.
- Nella luce, l'effetto Doppler provoca una vadiazione del colore percepito, rendendo la luce più rossa o più blu.
Possiamo percepire l'effetto Doppler con le sirene delle ambulanze. Se vi trovate in una strada e vedete un'ambulanza che si avvicina, noterete un aumento dell'altezza del suono della sirena dell'ambulanza, che diventa più acuta.
Fig. 1 - Quando l'ambulanza si avvicina, le onde sonore appaiono compresse - e quindi di frequenza più alta. Questo perché l'ambulanza si muove verso l'osservatore.
Quando l'ambulanza vi passa accanto, noterete che il tono si abbassa sempre di più man mano che si allontana.
Fig. 2 - Quando l'ambulanza si allontana, le onde sonore sembrano espandersi e arrivano al nostro orecchio come suoni più gravi.
Questo cambiamento apparente si verifica solo nel vostro sistema di riferimento rispetto all'ambulanza in movimento.
Effetto Doppler: formula
Possiamo calcolare la frequenza percepita delle onde a causa dell'effetto Doppler se conosciamo la frequenza dell'onda nel suo sistema di riferimento (\(f_s\)), la velocità dell'onda (\(v\)), la velocità dell'osservatore (\(v_0\)) e la velocità dell'oggetto che emette le onde (\(v_s\)). L'equazione è la seguente:
\[f = \frac{v \pm v_o}{v \pm v_s} \: f_s\]
La frequenza è misurata in Hertz (\(Hz\) ) e la velocità in m/s. I segni dipendono dall'orientamento relativo delle velocità dell'osservatore e dell'emettitore rispetto all'onda.
Se l'osservatore viaggia verso l'emettitore, la sua velocità sarà positiva, mentre se l'osservatore si allontana dall'emettitore, la sua velocità sarà negativa.
Se l'emettitore viaggia verso l'osservatore, la sua velocità sarà negativa, mentre se l'emettitore si allontana dall'osservatore, la sua velocità sarà positiva.
Un osservatore con una velocità di \(v_o=8000\: m/s\) si muove verso una sorgente di onde. Egli osserva un oggetto che emette un'onda con una velocità di \(v=500\: m/s\). L'onda ha una frequenza nel proprio sistema di riferimento di \(f_s=900\: Hz\) e l'oggetto si avvicina all'osservatore con una velocità di \(v_s = 100\: m/s\). Qual è la frequenza percepita dell'onda per l'osservatore che si avvicina alla sorgente?
Basta applicare l'equazione dell'effetto Doppler:
\[f = \frac{v+v_o}{v-v_s}\: f_s = \frac{ 500 \: m/s + 8000\: m/s}{500\:m/s - 100\: m/s} \: 900\: Hz = 19,125\: Hz\]
Effetto Doppler relativistico
Quando ci si muove a velocità prossime a quella della luce nel vuoto, si verificano due effetti importanti:
Qualsiasi frequenza misurata è una misura del tempo e qualsiasi movimento a velocità vicine a quella della luce implica un cambiamento significativo nelle posizioni. Di conseguenza, la frequenza di qualsiasi onda osservata quando ci si muove a velocità relativistiche sarà diversa da quella calcolata con la formula classica. In questo caso, abbiamo bisogno di un termine che tenga conto di questi effetti nella nostra equazione. Possiamo farlo utilizzando le trasformazioni di Lorentz.
Le trasformazioni di Lorentz sono un insieme di equazioni che mappano le coordinate geometriche \((x,y,z)\) e il tempo (\(t\)) da un sistema di riferimento (A) a un altro (B). In questo caso, B si muove con una certa velocità costante rispetto ad A.
Le coordinate del sistema B osservate dal sistema A saranno alterate. Se facciamo muovere il sistema B nella direzione x lontano da A, le coordinate z e y non varieranno rispetto ad A.
Fig. 3 - B si muove con una velocità \(v'\) mentre A è fermo. Le coordinate di un oggetto C variano se misurate da A. \(h\) è la stessa perché B si muove solo lungo la direzione x. La lunghezza \(l\) (dove si trova il punto C) viene trasformata come \(x+v't\).
Le lunghezze \(L\) lungo la coordinata x, invece, subiranno una variazione a causa della contrazione delle lunghezze. Le formule che regolano lunghezze e periodi di tempo per un osservatore in moto (indicate con un apice) a quelle misurate dall'osservatore nel sistema di riferimento fermo sono:
\[L' = L_0 \: \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]
\[\Delta t' = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
dove \(v\) è la velocità dell'osservatore e \(c\) la velocità della luce nel vuoto.
Quando teniamo conto di questi effetti, l'equazione per l'effetto Doppler relativistico è data da:
\[f_{oss} = f_s \: \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c}}\]
dove \(f_{oss}\) è la frequenza osservata, \(f_s\) la frequenza della sorgente, \(c\) la velocità della luce nel vuoto e \(v\) la velocità dell'osservatore.
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Effetto Doppler: luce
Quando una sorgente emette luce con una certa frequenza \(f_s\), questa subisce uno spostamento di frequenza (come nel caso del suono). Se la sorgente della luce si allontana dall'osservatore, la luce osservata sembra avere una lunghezza d'onda maggiore (meno frequenza, più rossa). Questo effetto è chiamato spostamento verso il rosso o redshift.
Confrontiamo la differenza tra l'approccio classico e quello relativistico con il seguente esempio.
Un osservatore si muove all'\(80\%\) della velocità della luce in direzione di una stella. La stella è una gigante blu nella costellazione di Orione, nota come Rigel. La stella ha un picco di radiazione di \(2,06\) petaherz (\(PHz\)). La velocità della luce è approssimata a \(300\:000\:000\: m/s\).
Equazione classica
Calcoliamo la frequenza osservata utilizzando l'equazione classica per l'effetto Doppler.
\[f = \frac{c+v_0}{c-v_s} \: f_s = \frac{3\cdot 10^8\:m/s + 2.4\cdot 10^8 \: m/s}{3\cdot 10^8 \: m/s - 0\: m/s}\: (2,06 \cdot 10^{15}\:Hz) = 3,71\cdot 10^{15}\:Hz\]
Equazione relativistica
Calcoliamo la stessa quantità usando la formula relativistica.
\[f_{oss} = f_s \: \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c}} = 2,06 \cdot 10^{15} \:Hz \: \frac{\sqrt{1-\left(\frac{2,4 \cdot 10^8\: m/s}{3,8\cdot 10^8 \:m/s} \right)^2}}{1-\frac{2,4\cdot 10^8 \: m/s}{3\cdot 10^8\: m/s}} = 6,18 \cdot 10^{15}\: Hz\]
Vediamo che gli effetti relativistici fanno una differenza enorme!
Quando si fanno i calcoli bisogna tenere a mente le convenzioni!
La scoperta di Hubble
Lo scienziato americano Edwin Hubble ha osservato che la luce delle stelle in altre galassie appare sistematicamente spostata verso il rosso. Questo redshift ha due caratteristiche importanti:
Lo spostamento verso il rosso appare in tutte le galassie, indipendentemente dalla direzione di osservazione. Ciò significa che le galassie si stanno allontanando dalla Terra.
Maggiore è la distanza delle galassie, più intenso è il redshift (cioè la velocità con cui si allontanano).
Le osservazioni effettuate da Edwin Hubble ci aiutano a capire che l'universo si sta espandendo, il che getta luce sulla storia dell'universo e sulla sua evoluzione.
Per saperne di più su questo argomento, leggi i nostri articoli di cosmologia!
Effetto Doppler - Punti chiave
- L'effetto Doppler crea uno spostamento apparente nella frequenza osservata di un'onda.
- Quando la sorgente e l'osservatore si avvicinano, si verifica uno spostamento verso frequenze più alte (lunghezze d'onda più corte), mentre quando si allontanano si verifica l'effetto opposto.
- Quando gli oggetti si muovono a velocità relativistiche (vicine alla velocità della luce), lo spostamento di frequenza esiste ancora, ma acquisisce una forma matematica diversa.
- Le differenze tra l'effetto Doppler classico e l'effetto Doppler relativistico sono dovute alla contrazione delle lunghezze e alla dilatazione del temporale che si verificano quando si viaggia a velocità relativistiche.
- Edwin Hubble osservò uno spostamento verso il rosso in galassie lontane. Questo rivelò che le galassie si stanno muovendo e che l'universo si sta espandendo.
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