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Equazione delle onde: formule
Maxwell, con l'unificazione delle leggi dell'elettromagnetismo aveva ricavato che il campo magnetico e il campo elettrico si propagano come un'onda trasversale, ci vollero ancora diversi anni (quasi 25) affinché Hertz dimostrasse che il campo elettromagnetico si propagava alla velocità della luce.
Fig. 1 - Le onde elettromagnetiche rispondono all'equazione delle onde.
Non vedremo una derivazione formale, perché richiede tanti conti con derivate parziali a partire dalle equazioni di Maxwell in forma integrale, ma si può dimostrare che l'equazione delle onde in una dimensione è data dalla formula
\[\boxed{\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi (x,t)\, , }\]
dove \(v\) è la velocità dell'onda e \(\psi(x,t)\) è detta funzione d'onda, ovvero la funzione che descrivere l'onda nello spazio e nel tempo (in questo caso ci interessiamo solo della coordinata spaziale \(x\) e del tempo \(t\)). Questa quantità può cambiare e avere forme diverse in base al fenomeno che si sta studiando, ma in generale sarà sempre una funzione dello spazio e del tempo.
È importante notare che si usa un simbolo diverso per indicare la derivata, invece di usare l'operatore "\(\mathrm{d} \psi\)" per indicare la derivata della funzione d'onda, si usa "\(\partial \psi\)", per indicare che si tratta di una derivata parziale, ovvero una derivata in cui consideriamo tutte le coordinate tranne una come costanti. Ad esempio, quando scriviamo \(\frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}\), indichiamo che ci interessa sola la variazione temporale della funzione \(\psi (x,t)\) e quindi consideriamo la coordinata \(x\) come costante. Analogamente \(\frac{\partial \psi (x,t)}{\partial x}\) indica la derivata parziale di \(\psi (x,t)\) rispetto alla posizione.
Equazione delle onde: principio di sovrapposizione
L'equazione d'onda che abbiamo visto poco sopra è un'equazione che si dice lineare, ovvero se abbiamo una certa funzione \(f(x,t)\) che è soluzione dell'equazione e un'altra funzione \(g(x,t)\) che a sua volta è soluzione, allora anche la loro somma \(f(x,t)+ g(x,t)\) è soluzione. Non solo la loro somma semplice, ma una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni dell'equazione delle onde è una soluzione per l'equazione delle onde, ovvero aderiscono al principio di sovrapposizione:
Il principio di sovrapposizione afferma che data due soluzioni \(f(x,t)\) e \(g(x,t)\) all'equazione delle onde, ogni loro combinazione lineare
\[h(x,t) = \alpha (x,t) + \beta (x,t)\]
è a sua volta soluzione dell'equazione d'onda.
In generale questo principio può essere esteso a quante onde vogliamo, se abbiamo tre soluzioni dell'equazione, allora una combinazione lineare di tutte e tre sarà una soluzione.
Per verificare questa proprietà è sufficiente pensare che se abbiamo tre o più soluzioni dell'equazione delle onde, possiamo sempre raggrupparle a due a due, sapendo che il risultato a sua volta sarà una soluzione, fino a quando non rimaniamo con solo due soluzioni e possiamo usare la definizione che abbiamo già visto!
Equazioni delle onde: soluzione di d'Alembert
Jean Baptiste Le Rond d'Alembert propose un cambio di variabile che portò a una soluzione dell'equazione d'onda (che prende anche il suo nome come "equazione di d'Alembert".
Il cambio di variabili consisteva nel sostituire a \(x\) e \(y\) le variabili \(u\) e \(v\) così definite:
\[\begin{cases} u=x+ct\\v=x-ct \end{cases}\,.\]
In questo caso abbiamo usato come velocità dell'onda \(c\), la velocità della luce nel vuoto perché originariamente questo problema si era posto per le onde elettromagnetiche.
Facendo questa sostituzione, l'equazione delle onde diventa particolarmente semplice:
\[\frac{\partial^2 \psi}{\partial u\partial v} = 0\,.\]
E la soluzione generale è ancora più semplice:
\[\psi (u, v) = f(u) + g(v)\, .\]
O, tornando alle variabili originali,
\[\psi (x, t) = f(x+ct)+g(x-ct)\,.\]
Ovvero, a meno di costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del sistema e del problema fisico che stiamo osservando, possiamo dire che la soluzione dell'equazione di d'Alembert è sempre scomponibile come la sovrapposizione di un'onda progressiva e una regressiva, ovvero di due onde che viaggiano con velocità opposta!
Equazione delle onde: soluzioni non oscillanti
Non tutte le onde devono essere necessariamente oscillanti (anche se spesso lo sono)!
Bisogna stare attenti a non confondere moti oscillatori e onde: un moto oscillatorio è un moto periodico, che si ripete nel tempo, mentre un'onda è una forma di perturbazione che si propaga, ma non è detto che sia oscillatorio!
Siccome le funzioni \(f(x+ct)\) e \(g(x-ct)\) sono arbitrarie basta sceglierne di non oscillanti e abbiamo una soluzione non oscillante dell'equazione d'onda.
Per fare un esempio un po' più complesso, pensiamo a un'equazione d'onda la cui soluzione sia
\[\psi (x,t) = e^{\alpha x} e^{\beta t}\,.\]
Se applichiamo l'equazione d'onda, possiamo svolgere separatamente le due derivate:
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \alpha^2 \psi (x,t) \\\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \beta^2 \psi (x,t)\end{cases} \] In questo modo possiamo vedere che se è valida la condizione
\[\beta^2 = c^2 \alpha^2\,,\]
allora, \(\psi(x,t) = e^{\alpha x} e^{\beta t} \) è una soluzione per l'equazione delle onde stazionaria e non oscillante!
Equazione delle onde - Punti chiave
- Un'onda può essere descritta dall'equazione differenziale \(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t) = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \psi (x,t) \), anche detta equazione di d'Alembert, dove \(\psi (x,t)\) è detta funzione d'onda.
- La funzione d'onda la descrivere l'onda nello spazio e nel tempo.
- Il principio di sovrapposizione afferma che data due soluzioni \(f(x,t)\) e \(g(x,t)\) all'equazione delle onde, ogni loro combinazione lineare \(h(x,t) = \alpha (x,t) + \beta (x,t)\) è a sua volta soluzione dell'equazione d'onda.
- A meno di costanti che dipendono dalle condizioni iniziali possiamo dire che la soluzione dell'equazione di d'Alembert è sempre scomponibile come la sovrapposizione di un'onda progressiva e una regressiva, ovvero di due onde che viaggiano con velocità opposta!
- Non tutte le onde devono essere necessariamente oscillanti e non tutte le soluzioni dell'equazione d'onda sono oscillanti.
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Domande frequenti riguardo Equazione delle onde
Come si scrive l'equazione di un'onda?
L'equazione di un'onda è descritta dalla funzione di d'Alembert ∂2ψ(x,t)/∂2x2 = 1/v2 ∂2ψ(x,t)/∂2t2, dove ψ è detta funzione d'onda (in questo caso ci limitiamo a considerarla in una dimensione - lungo la coordinata spaziale x) e ∂ è il simbolo di derivata parziale.
Qual'è l'equazione fondamentale delle onde?
L'equazione fondamentale delle onde è data dall'equazione di d'Alembert ∂2ψ(x,t)/∂2x2 = 1/v2 ∂2ψ(x,t)/∂2t2, dove ψ è detta funzione d'onda (in questo caso ci limitiamo a considerarla in una dimensione - lungo la coordinata spaziale x) e ∂ è il simbolo di derivata parziale.
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