Partenza: Catania.
Arrivo: Trento.
Biglietto: solo andata.
Mezzo: funzione.
Cosa c'entra una funzione in tutto questo? Beh, le funzioni matematiche sono delle relazioni che da un valore di partenza, con un mezzo matematico ben specifico, arrivano ad un solo risultato specifico.
Cos’è una funzione
Si definisce funzione \(f:X \rightarrow Y\) una relazione tra un insieme \(X\) di partenza, chiamato dominio e un secondo insieme d'arrivo \(Y\), chiamato codominio. Tramite una legge matematica, la funzione fa corrispondere a ogni elemento del dominio un solo elemento del codominio.
La scrittura \(f:X \rightarrow Y\) indica una funzione dal dominio \(X\) al codominio \(Y\). In matematica il concetto di funzione si usa in molte aree astratte: i programmi scolastici di analisi matematica sono più concreti, e studiano le funzioni reali di variabile reale. In altre parole, dominio e codominio sono lo stesso insieme: i numeri reali \(\mathbb{R}\) o un loro sottoinsieme.
Dominio e codominio
Nell'immagine che segue puoi vedere quattro modi diversi di associare elementi di un primo insieme a elementi di un secondo insieme:
Figura 1. Possibili relazioni tra insiemi
Osserva la figura: puoi notare che, negli insiemi in alto, a ogni elemento di \(X\) corrisponde un elemento solo di \(Y\). In particolare, a sinistra la corrispondenza è unica, mentre a destra a più elementi di \(X\) corrisponde lo stesso elemento di \(Y\). In entrambi i disegni in basso, invece, da ogni elemento di \(X\) partono più frecce verso l'insieme \(Y\), quindi a un punto di partenza corrispondono più arrivi. Quella rappresentata, quindi, non è una funzione: non è vero che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio. Una funzione associa ad ogni partenza un solo arrivo!
In figura 2, qui sotto, vedi altri due casi: nel primo disegno puoi notare che un elemento dell'insieme di partenza non ha un corrispettivo in quello di arrivo. Anche questa non è una funzione: come puoi leggere nella definizione, devi associare un elemento del codominio a ogni elemento del dominio. L'ultimo disegno, invece, rappresenta una funzione: non è importante che vengano presi tutti gli elementi del codominio, e nemmeno che ogni elemento del dominio corrisponda a elementi distinti.
Figura 2. Relazioni tra due insiemi.
In questi grafici gli insiemi sono limitati a pochi elementi, ma per la maggior parte degli esercizi che incontrerai, gli insiemi saranno infiniti (come l'insieme \(\mathbb{R}\)).
Grafici di funzione
Pensa se dovessi fare un lavoretto per guadagnare un po'. Ti dicono che ti daranno in euro il doppio delle ore che fai. La funzione basata su questa regola fa corrispondere a un numero di ore, un altro valore in euro: avrebbe la legge \(y=2x\), dove \(x\) è il numero di ore che lavori, \(y\) il tuo compenso. Da qui è semplice algebra per calcolare quante ore bisogna lavorare per comprarti un cellulare! Se ti mancano 150 euro per il cellulare, basta trovare \(\frac{y}{2}\), dove al posto di \(y\), metti 150. Ma c’è anche un altro modo.
Le funzioni hanno il grandissimo vantaggio di poter essere rappresentate graficamente. Tramite un grafico, è molto veloce cercare dei valori particolari. Nel nostro esempio, guardando il grafico sai che devi lavorare 75 ore.
Figura 3. A \(x=75\) corrisponde il valore \(y=150\)
La funzione \(y=2x\) corrisponde graficamente a una retta. Tutte le rette hanno un'equazione in cui le incognite \(x\) e \(y\) appaiono solo al primo grado, e vi può essere un termine noto. Questo tipo di funzione viene chiamata, come suggerisce il grafico, funzione lineare.
Esistono molti altri tipi di funzione non lineari. Per darti un'idea di quanto può variare il grafico in base alla funzione, guarda i seguenti esempi:
Figura 4. Grafici di funzione sono molto diversi, in base alla legge che li definisce.
Legge di una funzione
Una funzione riceve dei valori in entrata, li trasforma, ed emette un valore in uscita. Un po' come un distributore che magicamente trasforma un euro in un caffè! I valori in entrata, cioè gli elementi del dominio, sono indicati con la variabile indipendente \(x\). Una volta stabilita una \(x\), la legge della funzione \(f\), un'espressione matematica più o meno complessa, stabilirà il valore in uscita \(y\).
La scrittura \(y=f(x)\), che si legge "\(y\) uguale a effe di \(x\)", ti indica tre cose:
- \(x\) è la variabile indipendente, e il suo valore viene scelto tra gli elementi del dominio.
- Esiste una particolare espressione matematica, detta legge della funzione \(f\), in cui appare la variabile \(x\).
- Svolgendo i calcoli dell'espressione matematica otterrai per ogni singolo \(x\) un nuovo valore, una sola variabile dipendente \(y\).
Si possono usare anche altre lettere minuscole per indicare una funzione, \(g(x)\), \(h(x)\), ecc., soprattutto se vuoi distinguere più funzioni che devi confrontare contemporaneamente.
La legge della funzione spesso viene assegnata nella seguente forma:\[f(x)=\text{espressione in} \; x,\] come, ad esempio,
\[f(x)=2x \;\;\;\text{o}\;\;\;\;\; g(x)=\log(x) \;\;\;\text{o}\;\;\;\;\; h(x)=5x^4-1 \;\;\;\]
Questa scrittura simbolica sta a dire "la legge di questa funzione, fissato il valore di \(x\), gli assegna il valore \(2x\), o \(\log(x)\) o \(5x^4-1\).
Perché queste funzioni abbiano senso, bisogna specificare un dominio e un codominio. Se assegni un valore preciso a una \(x\) del dominio, ne otterrai un altro univoco \(y\) appartenente al codominio.
Ad esempio, per \(x=4\) avrai un valore numerico corrispondente per ciascuna delle tre funzioni. Li puoi calcolare in base alla legge data: \(f(4)=2 \cdot 4\), che corrisponde a \(y=8\). Per la seconda funzione hai \(g(4)=\log(4)\) e quindi la \(y\) che corrisponde a \(x=4\) è \(y\approx0,6\). Infine, per \(h(4)=5(4)^4-1\), ottieni \(y=1279\) come valore associato a \(x=4\).
Nel caso di \(f(x)=2x\), potresti scegliere molteplici valori di \(x\) e trovare i corrispettivi valori di \(y\), e costruire una tabella. Devi sostituire di volta in volta il valore scelto nell'espressione matematica:
| x | y |
|---|
| 1 | 2 |
| 0 | 0 |
| 4 | 8 |
| -1 | -2 |
| \(\sqrt{2}\) | \(2\sqrt{2}\) |
Tabella 1. Valori fissati di \(x\) e corrispondenti valori \(y\) per la funzione \(f(x)=2x\).
Quindi, meglio scrivere \(f(x)=2x\) o \(y=2x\)? Entrambe le scritture hanno un significato preciso: \(f(x)=2x\) è la legge della funzione, mentre \(y=2x\) è la scrittura che descrive meglio la relazione tra un valore preciso di \(x\) e un altro \(y\) del codominio. In fondo stiamo parlando però della stessa cosa. Ecco perché \[y=f(x)\]
Condizioni di esistenza
La maggior parte delle funzioni che affronterai avrà i numeri reali sia come dominio che come codominio, ovvero studierai \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Le leggi delle funzioni saranno date da espressioni già studiate: funzioni esponenziali, logaritmiche, irrazionali, oppure funzioni fratte. In alcuni di questi casi la funzione non si può definire su tutti i numeri reali, e quindi il dominio non è \(\mathbb{R}\) ma un suo sottoinsieme.
In questi casi è necessario cercare su quale insieme ha senso calcolare la funzione: in molti casi, invece che di dominio si parla di campo di esistenza, o insieme di definizione della funzione. Non spaventarti, puoi considerare questi termini come sinomini! In molti esercizi ti viene chiesto di trovare il dominio di una funzione: in questo caso spetterà a te trovare le condizioni di esistenza, ovvero escludere dall'insieme \(\mathbb{R}\) quei punti o intervalli per cui la funzione non è definita.
Queste condizioni dipendono dalla legge della funzione. Ad esempio, se hai una frazione in cui \(x\) compare al denominatore, dovrai escludere i valori di \(x\) per cui il denominatore si annulla. Se hai invece una radice quadrata, dovrai escludere i valori per cui il radicando è negativo.
Trova le condizioni di esistenza della funzione \(f(x)=2\sqrt{x}\) per \(x \in \mathbb{R}\).
Siccome in \(\mathbb{R}\) la radice \(\sqrt{x}\) non esiste per valori negativi di \(x\), dobbiamo escludere l'intero intervallo \((-\infty,0)\).
Il campo di esistenza della funzione è \([0,+\infty)\).
Trova le condizioni di esistenza della funzione \(f(x)=\frac{2}{3x}\) per \(x \in \mathbb{R}\).
Questa funzione non è definita se il denominatore si annulla, quindi se \(3x = 0\): l'unico punto in cui questa funzione non è definita è \(x=0.\)
Il campo di esistenza è \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Immagine di una funzione
Nella definizione di funzione non è specificato che tutti gli elementi del codominio devono avere un corrispondente elemento nel dominio. Hai già visto in figura 2 un caso simile: nel secondo disegno alcuni elementi non sono "punti di arrivo" di nessuna freccia che comincia nel dominio. C'è un termine più preciso di "punto di arrivo": se \( y= f(x)\) si dice che \(y\) è l'immagine di \(x\) tramite \(f\).
Quindi si può definire un sottoinsieme del codominio costituito da tutti gli elementi che sono immagine di un elemento del dominio: l'immagine della funzione.
L'immagine di una funzione \(f:X \rightarrow Y\), indicata con la scrittura \(f(X)\), è l'insieme contenente tutti gli elementi che sono immagine di qualche elemento di \(X\):
\[f(X)= \{ y \in Y: \text{ esiste } x \in X \text{ tale che } y=f(y)\}\]
L'immagine di una funzione è un sottoinsieme del codominio: in generale, però, il codominio non coincide con l'immagine. In alcuni esercizi ti viene chiesto di trovarla: non è un compito facile e bisogna fare dei ragionamenti su quali valori possono risultare dai calcoli. Più avanti troverai qualche risultato teorico per aiutarti!
Trova l'immagine della funzione \(f:[0,+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}\) descritta dalla legge \(f(x)=2\sqrt{x}\).
Dato che il dominio è \( [0, + \infty )\), l'immagine si dovrà indicare con \(f \left( [0, + \infty )\right)\).
In questo caso, la radice quadrata dà come risultato solamente valori reali positivi: al variare di \(x\) in \([0,+\infty)\) vengono assunti tutti i valori possibili. Non possono risultare numeri negativi. L'immagine non è \(\mathbb{R}\) ma solo \([0,+\infty)\).
Trova l'immagine della funzione \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) descritta dalla legge \(f(x) =4\).
In questo caso l'immagine si indicherà con \(f(\mathbb{R} )\). Come vedi, nella legge di questa funzione non compare \(x\): si tratta di una funzione costante, che assegna lo stesso valore a qualunque variabile. L'immagine, quindi, contiene un solo valore: \(4\)! Dato che l'immagine è un insieme, però, bisogna indicarlo così: \(f(\mathbb{R} ) = \{4\}\).
Tipi di funzione
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In questo articolo hai visto una definizione astratta di funzione: non farti ingannare da questo, però, le funzioni non sono qualcosa di nuovo! Ne hai studiate parecchie lungo il tuo percorso scolastico: ora devi solo guardarle da un altro punto di vista, che ti permette di fare confronti e analisi. Alcune delle funzioni che hai già studiato e rivedrai sono queste:
- costanti (a ogni \(x\) corrisponde la stessa \(y\) );
- funzioni razionali intere o polinomiali;
- funzioni razionali fratte (in cui la variabile \(x\) compare al denominatore):
- funzioni irrazionali (in cui la variabile \(x\) compare sotto radice);
- funzioni logaritmiche;
- funzioni esponenziali;
- funzioni trigonometriche.
Lo studio di queste funzioni avviene gradualmente. Dovrai fare attenzione, volta per volta, alle condizioni di esistenza e ad altre proprietà: sarà fondamentale soprattutto fare tanti esercizi! Su StudySmarter troverai altri articoli sullo studio delle funzioni.
Definizione di funzione - Punti chiave
- Si definisce funzione \(f:X \rightarrow Y\) una relazione tra un insieme \(X\) di partenza, chiamato dominio e un secondo insieme d'arrivo \(Y\), chiamato codominio, che tramite una legge matematica fa corrispondere a ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio.
- Le funzioni possono essere rappresentate graficamente. Tramite un grafico, è molto veloce cercare dei valori particolari.
- La legge di una funzione è un'espressione matematica più o meno complessa, che spiega come calcolare il valore corrispondente a un certo elemento del dominio.
Trovare il campo di esistenza di una funzione significa escludere dai numeri reali punti o intervalli per cui la funzione stessa non è definita matematicamente (per esempio la radice di un numero negativo).
L'immagine di una funzione è l'insieme dei valori assunti dalla funzione. L'immagine è contenuta nel codominio, ma in genere non coincide con esso.
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