Hai mai fatto un sogno dentro un sogno? È un concetto strano, eppure perfettamente sensato, solo un po' più astratto di una bambola matrioska. Cercheremo di esplorare qualcosa di simile adesso in matematica: le funzioni di funzioni.
Figura 1. Le funzioni composte sono funzioni una dentro l'altra.
Definizione di funzione composta
L'idea alla base di una funzione composta è di calcolare due funzioni una dietro l'altra. Ovvero, se hai due funzioni \(f\) e \(g\), prendi un numero \(x\), calcoli la sua immagine \(y=g(x)\) e poi calcoli \(f(y)\). In altre parole, si calcola prima \(g(x)\) e poi sul risultato di questa si calcola \(f\).
Non è qualcosa di nuovo, e in realtà ne hai già viste parecchie. Considera ad esempio la funzione:
\[h(x) = \sqrt{x^2+x} .\]
È una funzione composta: in questo caso la funzione "interna", che viene calcolata per prima, è \(g(x) = x^2+x\), mentre la funzione esterna, calcolata sul risultato di questa, è \(f(y)=\sqrt{y}\). Nella composizione si sostituisce \( g(x)\) al posto di \( y\), e quindi si ha \( \sqrt{x^2+x}\).
Ovviamente non si può fare sempre: devi assicurarti che \(f\) si possa calcolare sul risultato di \(g(x)\). In altre parole, \(g\) deve associare a ogni elemento \(x\) del proprio dominio un elemento \(y\) del dominio di \(f\).
Una funzione composta, o funzione di funzione, è una funzione \(h\) definita a partire da due funzioni \(f\) e \(g\): dato \(x\) nel dominio di \(g\), si calcola \(y=g(x)\) e poi \(f(y)\). Allora \(h\) associa a un valore \(x\) del suo dominio il valore \(f(y)\).
Se h è la composizione tra le funzioni \(f, g\) si scrive \(h(x)=f(g(x))\) o \(h(x)=(f\circ g)(x)\) e si legge f composto g, o anche f applicato a g.
Forse è il caso di specificare, per evitare qualsiasi dubbio, che la composizione di funzioni non è una moltiplicazione:
\[(f \circ g) \neq f \cdot g.\]
Dominio di una funzione composta
Cerchiamo di studiare il dominio di \(h(x)=f(g(x))\). Se \(A\) è il dominio di \(g\) e \(B\) il suo codominio, allora \(g\) associa a \(x \in A\) un elemento \(y \in B\). Poi la funzione \(f\) associa a un elemento \(y\) di \(B\) (che deve essere il suo dominio) ad un elemento \(z\) di un terzo insieme \(C\) (il codominio di \(f\)). Quello che fa \(h(x)\) è prendere un elemento \(x\) da \(A\) e associargli \(z\in C\).
Ecco un diagramma che mostra la funzione composta \((f\circ g)(x)\) da un punto di vista insiemistico:
Fig. 2Funzione composta
La domanda a cui rispondere è questa:
Il dominio di \(h\) corrisponde a tutto il dominio di \(g\)? In altre parole: è corretto dire che \(Dom(h)=A\)?
Perché abbia senso la funzione composta, essa deve far corrispondere a tutte le \(x\) di \(A\) elementi di \(C\). Dall'immagine, però, puoi accorgerti che possono nascere dei problemi a livello di dominio.
Cosa succede se in \(B\) esistono anche degli elementi che non si possono calcolare come \(g(x)\)? Cioè: cosa succede se l'immagine di \(g\), \(Im(g)\), è un sottoinsieme proprio del dominio di \(f\) \(Dom(f)\)?
E se esistono degli elementi di \(B\) immagine di elementi di \(A\), cioè degli \(y=g(x)\), per cui la funzione \(f\) non è definita?
Le risposte a questi problemi richiedono di maneggiare attentamente il dominio e le immagini delle due funzioni \(f\) e \(g\).
- Gli elementi di \(B\) che non si possono calcolare come \(g(x)\) non vengono coinvolti in nessun modo nel calcolo della funzione \(h\). Puoi immaginare che \(h\) "perde" alcuni elementi su cui si poteva calcolare \(f\).
- Questo secondo problema è un po' più complicato: se non posso calcolare \(f\), non posso calcolare nemmeno \(h\). Quindi bisogna escludere dal dominio di \(g\) tutti gli elementi \(x\) per cui \(g(x)\) non appartiene al dominio di \(f\).
Non preoccuparti se ti ci vuole un po' per digerire la seguente definizione formale: la capirai meglio con qualche esercizio.
Posto \(Dom(f)\) il dominio di \(f\), \(Dom(g)\) quello di \(g\), allora il dominio della funzione composta \(f \circ g\) è\[ Dom (f \circ g) = \{ x \in Dom(g) \text{ tali che } g(x) \in Dom(f) \} \]
Esercizi sulle funzioni composte
Nella pratica, gli esercizi che dovrai affrontare, saranno principalmente:
- scrivere una funzione composta, date due funzioni, o magari tre;
- trovare il dominio di una funzione composta;
- dato un valore preciso di \(x\), calcolare \(f(g(x))\) per quel valore.
Calcolo della composizione di due funzioni
Per scrivere una funzione composta, devi sempre iniziare dalla funzione interna, cioè quella più vicina alla variabile \(x\). Per esempio, in \(f(g(x))=(f \circ g)(x)\) devi prima calcolare \(y=g(x)\), e poi sostituire \(g(x)\) in \(f(y).\)
\(f(x) = x^3 + 2\) e \(g(x) = 4^x\). Trova \((f\circ g)(x).\)
Soluzione.
Se ti aiuta, puoi pensare che la prima funzione applicata a \(x\) è \(g\), che farà corrispondere a \(x \rightarrow y=g(x)\). Dopo entrerà in gioco la funzione \(f\), che a sua volta farà corrispondere all'elemento \(y=g(x)\) un terzo elemento \(z=f(g(x))\). Può essere utile esprimere \(f\) come \(f(y)\), cioè sostituendo \(y\) al posto di \(x\), in modo da non confondere le due variabili.
\[ f(x) =x^3 + 2 \; \Rightarrow \; f(y) =y^3 + 2 \]
Ma \(y\) non è altro che \(g(x)\), che è fornito nel testo dell'esercizio. Quindi al posto di \(y\) sostituisci \(g(x)\):\[\begin{align}g(x) &= 4^x \\f(g(x))&=(4^x)^3 + 2 = 4^{3x} + 2 \\ \Rightarrow (f\circ g)(x)& =4^{3x} + 2 \end{align}\]
Determinare il dominio
x
Quando devi studiare il dominio, hai due scelte. Puoi usare l'approccio insiemistico visto prima per fare il tuo ragionamento. Oppure puoi comporre prima le due funzioni e studiarne il dominio, come faresti con una funzione qualunque.
Studia il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x) = x +2\), e \(g(x)=x^2\).
Soluzione.
Prima componi le due funzioni, sostituendo \(g(x)\) al posto di \(x\) nella legge di \(f\):
\[(f\circ g)(x) = (x^2) +2\]
Analizza questa nuova funzione per vedere se ci sono punti in cui non è definita. In questo caso, non ce n'è nessuno, quindi
\[ Dom (f \circ g) = \mathbb{R}\]
Con l'approccio insiemistico si arriva allo stesso risultato.
\[ Dom (f \circ g) = \{ x \in Dom(g) \text{ tali che } g(x) \in Dom(f) \} \]
Sia \(g\) che \(f\) sono definite su tutti i numeri reali: quindi puoi sostituire \(\mathbb{R}\) al posto dei due domini nella formula, e a \(g(x)\) sostituisci la sua legge.
\[ Dom (f \circ g) = \{ x \in \mathbb{R} \text{ tali che } x^2 \in \mathbb{R} \} \]
Ma \(x^2\) è sempre un numero reale: quindi non c'è nessun problema di definizione.
Studia il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x) = \sqrt{x}\), e \(g(x)=x^2\).
Soluzione.
\((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)= \sqrt{x^2}=|x|\).È importante notare che qui applichi prima \(g\), che è definita per ogni \(x \in \mathbb{R}.\) Otterrai un valore \(g(x)=x^2\) positivo, di cui si può fare sempre la radice quadrata. Quindi:
\[ Dom ((f \circ g)(x)) = \mathbb{R}\]
Dal punto di vista insiemistico: il dominio di \(g(x)=x^2\) è \(\mathbb{R}\), mentre la sua immagine è \([0,+\infty)\).Sia l'immagine che il dominio di \(f(x) = \sqrt{x}\) sono \([0,+\infty)\).
L'immagine di \(g\) coincide col dominio di \(f\): vuol dire che non esistono valori nell'immagine di \(g\) per cui \(f\) non è definita. Dunque, il dominio di \(g\) sarà anche il dominio della funzione composta: \( Dom ((f \circ g)(x)) = \mathbb{R}.\)
Avrai notato che l'approccio insiemistico, in generale, è un po' meno rapido. Nei prossimi esercizi lo lasceremo da parte.
x
Studia il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x) = x^2\), e \(g(x)=\sqrt{x}\).
Soluzione.
Nota che sono state invertite le funzioni del precedente esempio:
\[(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})= \left( \sqrt{x} \right)^2.\]
Potresti avere la tentazione di semplificare l'espressione scrivendo \((f\circ g)(x)=x\), ma è meglio andare con cautela.
Qui applichi prima \(g\), che ha dominio \([0,+\infty)\). Otterrai un valore \(g(x)=\sqrt{x}\) anch'esso positivo, che si può sempre elevare al quadrato. Quindi: puoi sempre applicare \(f\) a \(g(x)\), ma \(g\) si può calcolare solo su \([0,+\infty)\).
\[ Dom ((f \circ g)(x)) = [0,+\infty)\]
Determina il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x)=\sqrt{2-x}\) e \(g(x) = \sqrt{x}\).
Soluzione.
Come prima cosa, calcola la funzione composta.
\[(f\circ g)(x)=\sqrt{2-\sqrt{x}}\]
Questa funzione è definita se valgono tutte le condizioni di esistenza: hai due radici, e ognuno dei radicandi deve essere maggiore o uguale a zero. Per cui:
- \(2-\sqrt{x} \geq 0\), ovvero \(\sqrt{x} \leq 2\), ovvero \(x \leq 4]\);
- \(x \geq 0\), altrimenti non puoi calcolare \(\sqrt{x}\).
Dato che devono valere entrambe, trovi il dominio della funzione composta facendone l'intersezione:
\(Dom(f\circ g)(x) = [0,4].\)
Valore in un punto
Per la terza tipologia di esercizi, in cui devi trovare un valore della funzione composta, hai di nuovo due strade. Puoi calcolare prima la funzione composta e poi sostituire il valore dato; oppure calcolare il valore della prima funzione, e poi quello della seconda sul risultato.
\(f(x) = x + 2\) e \(g(x) = 3x - 1\). Trova \((f\circ g)(4)\)
Primo approccio:
Componi le funzioni:
\[(f\circ g)(x)= (3x-1) + 2 = 3x+ 1\]
Poi sostituisci il valore dato, \(x=4\) in questa funzione:
\[(f\circ g)(4)= 3(4)+ 1 = 13.\]
Secondo approccio:
Calcola \(g(4)\). \[g(4) = 3(4) - 1 = 11\]
Ora inserisci il risultato nella funzione \(f\) per trovare \((f\circ g)(4)\). \[f(11) = 11 + 2=13.\]
Quindi, in entrambi i modi, risulta\[(f\circ g)(4)=13.\]
\(f(x) = \cos(x)\), \(g(x)=3x-2\), \(h(x)= (g \circ f)(x)\). Trova il valore di \(h(\frac{\pi}{2})\).
Soluzione.
Fai attenzione all'ordine delle due funzioni. Stavolta bisogna applicare prima \(f(x)\).
Quindi:\[f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.\]
Poi sostituisce il valore trovato nella funzione più esterna:\[g(0)=3(0)-2=0-2=-2.\]
Quindi la risposta è
\[h\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2.\]
Composizione di funzioni: proprietà
Puoi considerare la composizione come un'operazione tra funzioni. Pensa all'addizione o alla moltiplicazione: sono operazioni che combinano due numeri e ne restituiscono un altro. Allo stesso modo, la composizione prende due funzioni e ne restituisce una terza.
La composizione di funzioni gode della proprietà associativa: se componi tre funzioni, non è importante come le raggruppi. \[(f \circ g)(h(x))=f \circ (g \circ h)(x).\]
In pratica, vuol dire che la posizione delle parentesi in una funzione composta non influisce sul risultato complessivo: non è importante se si calcola prima \(f \circ g\) e poi questo si calcola su \(h\), oppure se si calcola \(g \circ h\) e poi si inserisce il risultato in \(f\). La funzione risultante è la stessa!
Considera \(f(x) = x + 2\), \(g(x) = 3x - 1\), e \(h(x)=x^2\). Vediamo se \((f \circ g) \circ h(x) =f \circ (g \circ h)(x).\)
\[\begin{align}(f \circ g)(x)&=(3x-1)+2=3x+1 \\\Rightarrow \; \; (f \circ g) \circ h(x)&= 3(x^2) +1\end{align}\]
D'altra parte:\[\begin{align}(g \circ h)(x)&= 3(x^2) -1 \\\Rightarrow \; \; f \circ (g \circ h)(x)&=(3x^2 -1)+2=3x^2 +1.\end{align}\]
La composizione di funzioni in genere non gode della proprietà commutativa: \((f \circ g) \neq (g \circ f)\). Quindi è importante calcolare la composizione rispettando l'ordine di scrittura!
\(f(x) = x + 2\) e \(g(x) = 3x - 1\).
\(f \circ g = (3x-1) +2=3x+1\), mentre \(g \circ f = 3(x+2)-1=3x+6-1=3x+5\)
Una funzione può essere composta con se stessa.
\(f(x) = x^2 + x + \frac{2}{3}\). Calcola \((f \circ f)(x)\)
Basta sostituire \(y=f(x)\) in \(f(y)\):\[(f \circ f)(x) = \left(x^2 + x + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(x^2 + x + \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3}\] E poi semplificare:
\[\begin{align}(f \circ f)(x) = &\left(x^4 + x^2 + \frac{4}{9} + 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 + 2 \cdot \frac{2}{3}x\right) + \left(x^2 + x + \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3}= \\&\left(x^4 + 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 + x^2 + 2 \cdot \frac{2}{3}x + x + \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} =\\&x^4 + 2x^3 + \frac{7}{3}x^2 + \frac{7}{3}x + \frac{16}{9} \end{align}\]
Un ultimo fatto importante da ricordare è che la composizione si comporta bene con l'iniettività e la suriettività:
Date due funzioni iniettive, la loro composizione è iniettiva.
Date due funzioni suriettive, la loro composizione è suriettiva.
Date due funzioni biettive, la loro composizione è biettiva.
Fai attenzione, perché se una sola delle funzioni è iniettiva o suriettiva, la proprietà non viene mantenuta!
Funzioni composte - Punti chiave
- Le funzioni composte calcolano due o più funzioni elementari di seguito, in un determinato ordine.
- Una funzione composta si indica con \(h(x)=f(g(x))\) o \(h(x)=(f\circ g)(x)\) e si legge f composto g, o anche f applicato a g.
- Per comporre due o più funzioni, devi sempre iniziare dalla funzione interna, cioè quella più vicina alla variabile \(x\). Per esempio, in \(f(g(x))=(f \circ g)(x)\) devi sostituire \(y=g(x)\), la funzione interna, in \(f(y).\)
La composizione di funzioni ha la proprietà associativa: date tre funzioni, non è importante
Le composizione di funzioni in genere non ha la proprietà commutativa.
La composizione di funzioni iniettive è iniettiva, la composizione di funzioni suriettive è suriettiva, la composizione di funzioni biettive è biettiva.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
References
- Fig.1 https://pixabay.com/photos/matryoshka-doll-doll-souvenir-6039267/ by didssph (https://pixabay.com/users/didssph-20016734/?utm_source=link-attribution&utm_medium=referral&utm_campaign=image&utm_content=6039267) is licenced by Pixabay (https://pixabay.com/service/license/)
Spiegazioni Accedi ai contenuti gratuiti creati dai nostri esperti.
Esami Preparati al meglio per la Scuola e l'Università.
Magazine Trucchi e consigli per studiare meglio e in poco tempo.
