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Hai mai fatto un sogno dentro un sogno? È un concetto strano, eppure perfettamente sensato, solo un po' più astratto di una bambola matrioska. Cercheremo di esplorare qualcosa di simile adesso in matematica: le funzioni di funzioni.Figura 1. Le funzioni composte sono funzioni una dentro l'altra.L'idea alla base di una funzione composta è di calcolare due funzioni una dietro l'altra.…
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Jetzt kostenlos anmeldenHai mai fatto un sogno dentro un sogno? È un concetto strano, eppure perfettamente sensato, solo un po' più astratto di una bambola matrioska. Cercheremo di esplorare qualcosa di simile adesso in matematica: le funzioni di funzioni.
Figura 1. Le funzioni composte sono funzioni una dentro l'altra.
L'idea alla base di una funzione composta è di calcolare due funzioni una dietro l'altra. Ovvero, se hai due funzioni \(f\) e \(g\), prendi un numero \(x\), calcoli la sua immagine \(y=g(x)\) e poi calcoli \(f(y)\). In altre parole, si calcola prima \(g(x)\) e poi sul risultato di questa si calcola \(f\).
Non è qualcosa di nuovo, e in realtà ne hai già viste parecchie. Considera ad esempio la funzione:
\[h(x) = \sqrt{x^2+x} .\]
È una funzione composta: in questo caso la funzione "interna", che viene calcolata per prima, è \(g(x) = x^2+x\), mentre la funzione esterna, calcolata sul risultato di questa, è \(f(y)=\sqrt{y}\). Nella composizione si sostituisce \( g(x)\) al posto di \( y\), e quindi si ha \( \sqrt{x^2+x}\).
Ovviamente non si può fare sempre: devi assicurarti che \(f\) si possa calcolare sul risultato di \(g(x)\). In altre parole, \(g\) deve associare a ogni elemento \(x\) del proprio dominio un elemento \(y\) del dominio di \(f\).
Una funzione composta, o funzione di funzione, è una funzione \(h\) definita a partire da due funzioni \(f\) e \(g\): dato \(x\) nel dominio di \(g\), si calcola \(y=g(x)\) e poi \(f(y)\). Allora \(h\) associa a un valore \(x\) del suo dominio il valore \(f(y)\).
Se h è la composizione tra le funzioni \(f, g\) si scrive \(h(x)=f(g(x))\) o \(h(x)=(f\circ g)(x)\) e si legge f composto g, o anche f applicato a g.
Forse è il caso di specificare, per evitare qualsiasi dubbio, che la composizione di funzioni non è una moltiplicazione:
\[(f \circ g) \neq f \cdot g.\]
Cerchiamo di studiare il dominio di \(h(x)=f(g(x))\). Se \(A\) è il dominio di \(g\) e \(B\) il suo codominio, allora \(g\) associa a \(x \in A\) un elemento \(y \in B\). Poi la funzione \(f\) associa a un elemento \(y\) di \(B\) (che deve essere il suo dominio) ad un elemento \(z\) di un terzo insieme \(C\) (il codominio di \(f\)). Quello che fa \(h(x)\) è prendere un elemento \(x\) da \(A\) e associargli \(z\in C\).
Ecco un diagramma che mostra la funzione composta \((f\circ g)(x)\) da un punto di vista insiemistico:
Fig. 2Funzione composta
La domanda a cui rispondere è questa:
Il dominio di \(h\) corrisponde a tutto il dominio di \(g\)? In altre parole: è corretto dire che \(Dom(h)=A\)?
Perché abbia senso la funzione composta, essa deve far corrispondere a tutte le \(x\) di \(A\) elementi di \(C\). Dall'immagine, però, puoi accorgerti che possono nascere dei problemi a livello di dominio.
Cosa succede se in \(B\) esistono anche degli elementi che non si possono calcolare come \(g(x)\)? Cioè: cosa succede se l'immagine di \(g\), \(Im(g)\), è un sottoinsieme proprio del dominio di \(f\) \(Dom(f)\)?
E se esistono degli elementi di \(B\) immagine di elementi di \(A\), cioè degli \(y=g(x)\), per cui la funzione \(f\) non è definita?
Le risposte a questi problemi richiedono di maneggiare attentamente il dominio e le immagini delle due funzioni \(f\) e \(g\).
Non preoccuparti se ti ci vuole un po' per digerire la seguente definizione formale: la capirai meglio con qualche esercizio.
Posto \(Dom(f)\) il dominio di \(f\), \(Dom(g)\) quello di \(g\), allora il dominio della funzione composta \(f \circ g\) è\[ Dom (f \circ g) = \{ x \in Dom(g) \text{ tali che } g(x) \in Dom(f) \} \]
Nella pratica, gli esercizi che dovrai affrontare, saranno principalmente:
Per scrivere una funzione composta, devi sempre iniziare dalla funzione interna, cioè quella più vicina alla variabile \(x\). Per esempio, in \(f(g(x))=(f \circ g)(x)\) devi prima calcolare \(y=g(x)\), e poi sostituire \(g(x)\) in \(f(y).\)
\(f(x) = x^3 + 2\) e \(g(x) = 4^x\). Trova \((f\circ g)(x).\)
Soluzione.
Se ti aiuta, puoi pensare che la prima funzione applicata a \(x\) è \(g\), che farà corrispondere a \(x \rightarrow y=g(x)\). Dopo entrerà in gioco la funzione \(f\), che a sua volta farà corrispondere all'elemento \(y=g(x)\) un terzo elemento \(z=f(g(x))\). Può essere utile esprimere \(f\) come \(f(y)\), cioè sostituendo \(y\) al posto di \(x\), in modo da non confondere le due variabili.
\[ f(x) =x^3 + 2 \; \Rightarrow \; f(y) =y^3 + 2 \]
Ma \(y\) non è altro che \(g(x)\), che è fornito nel testo dell'esercizio. Quindi al posto di \(y\) sostituisci \(g(x)\):\[\begin{align}g(x) &= 4^x \\f(g(x))&=(4^x)^3 + 2 = 4^{3x} + 2 \\ \Rightarrow (f\circ g)(x)& =4^{3x} + 2 \end{align}\]
x
Quando devi studiare il dominio, hai due scelte. Puoi usare l'approccio insiemistico visto prima per fare il tuo ragionamento. Oppure puoi comporre prima le due funzioni e studiarne il dominio, come faresti con una funzione qualunque.
Studia il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x) = x +2\), e \(g(x)=x^2\).
Soluzione.
Prima componi le due funzioni, sostituendo \(g(x)\) al posto di \(x\) nella legge di \(f\):
\[(f\circ g)(x) = (x^2) +2\]
Analizza questa nuova funzione per vedere se ci sono punti in cui non è definita. In questo caso, non ce n'è nessuno, quindi
\[ Dom (f \circ g) = \mathbb{R}\]
Con l'approccio insiemistico si arriva allo stesso risultato.
\[ Dom (f \circ g) = \{ x \in Dom(g) \text{ tali che } g(x) \in Dom(f) \} \]
Sia \(g\) che \(f\) sono definite su tutti i numeri reali: quindi puoi sostituire \(\mathbb{R}\) al posto dei due domini nella formula, e a \(g(x)\) sostituisci la sua legge.
\[ Dom (f \circ g) = \{ x \in \mathbb{R} \text{ tali che } x^2 \in \mathbb{R} \} \]
Ma \(x^2\) è sempre un numero reale: quindi non c'è nessun problema di definizione.
Studia il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x) = \sqrt{x}\), e \(g(x)=x^2\).
Soluzione.
\((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)= \sqrt{x^2}=|x|\).È importante notare che qui applichi prima \(g\), che è definita per ogni \(x \in \mathbb{R}.\) Otterrai un valore \(g(x)=x^2\) positivo, di cui si può fare sempre la radice quadrata. Quindi:
\[ Dom ((f \circ g)(x)) = \mathbb{R}\]
Dal punto di vista insiemistico: il dominio di \(g(x)=x^2\) è \(\mathbb{R}\), mentre la sua immagine è \([0,+\infty)\).Sia l'immagine che il dominio di \(f(x) = \sqrt{x}\) sono \([0,+\infty)\).
L'immagine di \(g\) coincide col dominio di \(f\): vuol dire che non esistono valori nell'immagine di \(g\) per cui \(f\) non è definita. Dunque, il dominio di \(g\) sarà anche il dominio della funzione composta: \( Dom ((f \circ g)(x)) = \mathbb{R}.\)
Avrai notato che l'approccio insiemistico, in generale, è un po' meno rapido. Nei prossimi esercizi lo lasceremo da parte.
x
Studia il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x) = x^2\), e \(g(x)=\sqrt{x}\).
Soluzione.
Nota che sono state invertite le funzioni del precedente esempio:
\[(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})= \left( \sqrt{x} \right)^2.\]
Potresti avere la tentazione di semplificare l'espressione scrivendo \((f\circ g)(x)=x\), ma è meglio andare con cautela.
Qui applichi prima \(g\), che ha dominio \([0,+\infty)\). Otterrai un valore \(g(x)=\sqrt{x}\) anch'esso positivo, che si può sempre elevare al quadrato. Quindi: puoi sempre applicare \(f\) a \(g(x)\), ma \(g\) si può calcolare solo su \([0,+\infty)\).
\[ Dom ((f \circ g)(x)) = [0,+\infty)\]
Determina il dominio di \((f\circ g)(x)\) se \(f(x)=\sqrt{2-x}\) e \(g(x) = \sqrt{x}\).
Soluzione.
Come prima cosa, calcola la funzione composta.
\[(f\circ g)(x)=\sqrt{2-\sqrt{x}}\]
Questa funzione è definita se valgono tutte le condizioni di esistenza: hai due radici, e ognuno dei radicandi deve essere maggiore o uguale a zero. Per cui:
Dato che devono valere entrambe, trovi il dominio della funzione composta facendone l'intersezione:
\(Dom(f\circ g)(x) = [0,4].\)
Per la terza tipologia di esercizi, in cui devi trovare un valore della funzione composta, hai di nuovo due strade. Puoi calcolare prima la funzione composta e poi sostituire il valore dato; oppure calcolare il valore della prima funzione, e poi quello della seconda sul risultato.
\(f(x) = x + 2\) e \(g(x) = 3x - 1\). Trova \((f\circ g)(4)\)
Primo approccio:
Componi le funzioni:
\[(f\circ g)(x)= (3x-1) + 2 = 3x+ 1\]
Poi sostituisci il valore dato, \(x=4\) in questa funzione:
\[(f\circ g)(4)= 3(4)+ 1 = 13.\]
Secondo approccio:
Calcola \(g(4)\). \[g(4) = 3(4) - 1 = 11\]
Ora inserisci il risultato nella funzione \(f\) per trovare \((f\circ g)(4)\). \[f(11) = 11 + 2=13.\]
Quindi, in entrambi i modi, risulta\[(f\circ g)(4)=13.\]
\(f(x) = \cos(x)\), \(g(x)=3x-2\), \(h(x)= (g \circ f)(x)\). Trova il valore di \(h(\frac{\pi}{2})\).
Soluzione.
Fai attenzione all'ordine delle due funzioni. Stavolta bisogna applicare prima \(f(x)\).
Quindi:\[f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.\]
Poi sostituisce il valore trovato nella funzione più esterna:\[g(0)=3(0)-2=0-2=-2.\]
Quindi la risposta è
\[h\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2.\]
Puoi considerare la composizione come un'operazione tra funzioni. Pensa all'addizione o alla moltiplicazione: sono operazioni che combinano due numeri e ne restituiscono un altro. Allo stesso modo, la composizione prende due funzioni e ne restituisce una terza.
La composizione di funzioni gode della proprietà associativa: se componi tre funzioni, non è importante come le raggruppi. \[(f \circ g)(h(x))=f \circ (g \circ h)(x).\]
In pratica, vuol dire che la posizione delle parentesi in una funzione composta non influisce sul risultato complessivo: non è importante se si calcola prima \(f \circ g\) e poi questo si calcola su \(h\), oppure se si calcola \(g \circ h\) e poi si inserisce il risultato in \(f\). La funzione risultante è la stessa!
Considera \(f(x) = x + 2\), \(g(x) = 3x - 1\), e \(h(x)=x^2\). Vediamo se \((f \circ g) \circ h(x) =f \circ (g \circ h)(x).\)
\[\begin{align}(f \circ g)(x)&=(3x-1)+2=3x+1 \\\Rightarrow \; \; (f \circ g) \circ h(x)&= 3(x^2) +1\end{align}\]
D'altra parte:\[\begin{align}(g \circ h)(x)&= 3(x^2) -1 \\\Rightarrow \; \; f \circ (g \circ h)(x)&=(3x^2 -1)+2=3x^2 +1.\end{align}\]
La composizione di funzioni in genere non gode della proprietà commutativa: \((f \circ g) \neq (g \circ f)\). Quindi è importante calcolare la composizione rispettando l'ordine di scrittura!
\(f(x) = x + 2\) e \(g(x) = 3x - 1\).
\(f \circ g = (3x-1) +2=3x+1\), mentre \(g \circ f = 3(x+2)-1=3x+6-1=3x+5\)
Una funzione può essere composta con se stessa.
\(f(x) = x^2 + x + \frac{2}{3}\). Calcola \((f \circ f)(x)\)
Basta sostituire \(y=f(x)\) in \(f(y)\):\[(f \circ f)(x) = \left(x^2 + x + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(x^2 + x + \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3}\] E poi semplificare:
\[\begin{align}(f \circ f)(x) = &\left(x^4 + x^2 + \frac{4}{9} + 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 + 2 \cdot \frac{2}{3}x\right) + \left(x^2 + x + \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3}= \\&\left(x^4 + 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 + x^2 + 2 \cdot \frac{2}{3}x + x + \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} =\\&x^4 + 2x^3 + \frac{7}{3}x^2 + \frac{7}{3}x + \frac{16}{9} \end{align}\]
Un ultimo fatto importante da ricordare è che la composizione si comporta bene con l'iniettività e la suriettività:
Date due funzioni iniettive, la loro composizione è iniettiva.
Date due funzioni suriettive, la loro composizione è suriettiva.
Date due funzioni biettive, la loro composizione è biettiva.
Fai attenzione, perché se una sola delle funzioni è iniettiva o suriettiva, la proprietà non viene mantenuta!
La composizione di funzioni ha la proprietà associativa: date tre funzioni, non è importante
Le composizione di funzioni in genere non ha la proprietà commutativa.
La composizione di funzioni iniettive è iniettiva, la composizione di funzioni suriettive è suriettiva, la composizione di funzioni biettive è biettiva.
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La scrittura f o g indica la composizione di due funzioni, f e g per la precisione. La prima funzione che viene applicata è la seconda, g, che a valori x fa corrispondere valori y=g(x). La funzione f farà a sua volta corrispondere questi valori g(x) a valori z=f(g(x)). Nella pratica si può sostituire g(x) a x in f(x).
Le funzioni composte sono quelle in cui vengono combinate due o più funzioni, sostituendo le immagini della prima funzione applicata in quella successiva. Si indicano con f(g(x)) o f o g.
Una funzione composta f(g(x)) è iniettiva solo se lo sono anche le funzioni f e g.
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