Derivate

Calcola \( f'(2) \) per la funzione:

\[ f(x) = 3x^{2}-4x+1. \]

Soluzione 1:

1. Applica la definizione: in questo caso, \( x_0 = 2 \).\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \]
2. Sostituisci \( f(x) = 3x^{2}-4x+1 \) e \( f(2) = 5 \).\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(3x^{2}-4x+1)-5}{x-2} \]
3. Esegui i calcoli al numeratore.\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{3x^{2}-4x-4}{x-2} \]
4. Fattorizza il numeratore.\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(3x+2)}{x-2} \]
5. Semplifica i fattori comuni.\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} (3x+2) \]
6. Ora hai il limite di un polinomio, una funzione continua: puoi calcolarlo sostituendo \( x = 2 \).\[ f'(2) = \lim_{x \to 2} (3(2)+2) \]
7. Il risultato è:\[ \mathbfit{ f'(2) } = \mathbfit{ 8 } \]

Soluzione 2.

Usando la formula:\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]

1. Applica la definizione, ricordando che \( x_0 = 2 \)).\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \]
2. Sostituisci\( f(2+h) = 3(2+h)^{2}-4(2+h)+1 \) e \( f(2) = 5 \).\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(3(2+h)^{2}-4(2+h)+1)-5}{h} \]
3. Svolgi i calcoli al numeratore.\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{3h^{2}+8h}{h} \]
4. Fattorizza il numeratore.\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h(3h+8)}{h} \]
5. Semplifica i fattori comuni.\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} (3h+8) \]
6. Sostituisci \( h = 0 \) (come sopra, hai ottenuto un polinomio, una funzione continua su tutto \(\mathbb{R}\), quindi si può fare.)\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} (3(0)+8) \]
7. Il risultato è:\[ \mathbfit{ f'(2) } = \mathbfit{ 8 } \]

Entrambi i metodi danno la stessa risposta. In genere negli esercizi si preferisce usare la definizione con \(h\), perché i limiti risultano più semplici da calcolare. In alcuni risultati teorici, però, è più comodo usare la prima definizione: lo vedrai più avanti in questo articolo!

Usa la definizione per trovare la derivata della funzione

\[ f(x) = x^{2}-2x. \]

Soluzione:

1. Sostituisci \( f(x+h) = (x+h)^{2}-2(x+h) \) e \( f(x) = x^{2}-2x\) nella formula della definizione di derivata.\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^{2}-2(x+h))-(x^{2}-2x)}{h} \]
2. Svolgi i prodotti in \( (x+h)^{2}-2(x+h)\).\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h-x^{2}+2x}{h} \]
3. Prosegui con i calcoli al numeratore.\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh-2h+h^{2}}{h} \]
4. A questo punto puoi raccogliere \(h\) al numeratore.\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x-2+h)}{h} \]
5. Semplifica le due \(h\).\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x-2+h) \]
6. A questo punto calcola il limite per \(h \to 0\): il risultato è\[ \mathbfit{ f'(x) } = \mathbfit{ 2x-2 } .\]

Nel grafico qui sotto puoi vedere la funzione \( f(x) = x^{2}-2x \) e la sua derivata \( f'(x) = 2x-2 \).

Figura 3. Grafico di una funzione (blu scuro) e della sua derivata (verde chiaro).

Di certo i grafici non si somigliano molto, ma se osservi attentamente puoi vedere che c'è una relazione tra i due.

• Nota che \( f(x) \) è decrescente per \( x < 1 \).
  • Allo stesso modo, per gli stessi valori di \(x\), si ha che \( f'(x) < 0 \).
• Per \( x > 1 \), la funzione \( f(x) \) è crescente.
  • Per questi stessi valori di \(x\), la derivata è sopra l'asse delle ascisse: \( f'(x) > 0 \).
• Infine, \( f(x) \) ha un "avvallamento" in \( x=1 \): qui la tangente è certamente parallela all'asse \(x\).
  • In questo punto si ha che \( f'(1)=0 \).

Come esempio prendiamo la funzione valore assoluto:

\[ f(x) = |x|. \]

Figura 4. Il grafico della funzione valore assoluto.

Sappiamo che questa funzione è continua dappertutto, ma è derivabile? Proviamo a calcolare la derivata nel punto \( x=0 \).

\[ \begin{align}f'(0) &= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{|x|-|0|}{x-0} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}.\end{align} \]

Ma questo limite non esiste: il limite sinistro e quello destro hanno valori diversi!

\[ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x|}{x} = -1 \quad \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x|}{x} = 1. \]

In altre parole, se ti avvicini a \(0\) dai numeri negativi, il limite sinistro del rapporto incrementale vale \(-1\), mentre se ti avvicini da destra il limite destro vale \(+1\). I rapporti incrementali sono diversi sui numeri positivi e negativi: il limite non esiste, e quindi la derivata in \(0\) non esiste!

Calcola la derivata della funzione \(f(x)=\sin(x)\).:

Soluzione.

1. Applica come prima cosa la definizione di derivata, sostituendo \(\sin(x)\) come funzione.\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\]
2. Conviene sfruttare le formule goniometriche: la formula di addizione del seno dice che \(\sin(x+h)=\sin(x) \cos(h) +\sin (h) \cos (x)\). Sostituiscilo al numeratore della frazione.\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(x) \cos(h) +\sin (h) \cos (x) - \sin(x)}{h}\]
3. Hai ottenuto due termini con \(\sin x\): per proseguire conviene raccoglierli a fattore comune.\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(x)( \cos(h) - 1) +\sin (h) \cos (x) }{h}\]
4. Noti qualche somiglianza con limiti notevoli? Forse la vedi meglio separando i due termini a numeratore della frazione, e mettendo in evidenza quali termini contengono solo \(x\) e quali solo \(h\).\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \left(\frac{ \sin(x)( \cos(h) - 1) }{h}+ \frac{\sin (h) \cos (x) }{h} \right)\\ =& \lim_{h \to 0} \left( \sin(x) \cdot \frac{ ( \cos(h) - 1) }{h}+ \cos (x) \cdot \frac{\sin (h) }{h} \right)\end{align}
5. Ora separa tutti i termini. Il limite della somma è la somma dei limiti; i termini che non dipendono da \(h\) possono essere portati fuori dall'operazione di limite.\[ f'(x) = \sin(x) \cdot \left(\lim_{h \to 0} \frac{ ( \cos(h) - 1) }{h} \right)+ \cos (x) \cdot \left(\lim_{h \to 0} \frac{\sin (h) }{h} \right)\]
6. Nota che hai due limiti notevoli:\[\lim_{h \to 0} \frac{ ( \cos(h) - 1) }{h} = 0 \; \text{ e } \; \lim_{h \to 0} \frac{\sin (h) }{h} = 1.\]Puoi sostituire questi valori ottenendo \[f'(x)=\sin(x)\cdot 0 + \cos (x) \cdot 1 = \mathbfit{1} \]

Calcola la derivata della funzione \( f(x)=\sqrt{x} \).

Soluzione.

1. Applica la definizione di derivata alla funzione \( f(x)=\sqrt{x} \).\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \right) \]
2. Il limite è una forma indeterminata: per risolverlo bisogna usare qualche trucco. Un'idea è di moltiplicare e dividere per \( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \) applicando la falsa razionalizzazione, in modo da eliminare le radici al numeratore.\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \right)\cdot \left(\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \right) \]
3. A questo punto svolgi i calcoli: al numeratore ottieni la differenza dei quadrati, eliminando le radici.\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{x+h-x}{h \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{h}{h \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)} \right) \]
4. A questo punto puoi semplificare il fattore \(h\).\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \right) \]
5. Ora calcola il limite\[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Confronta i grafici della funzione\( f(x)=\sqrt{x} \) e della sua derivata \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Figura 5. Grafico della funzione \(\sqrt{x}\) e della sua derivata.

Osserva la relazione tra il grafico della funzione, in blu scuro, e della sua derivata, in verde chiaro.

• Nota che \( f(x) \) è crescente su tutto il suo dominio. Questo significa che l'inclinazione delle rette tangenti sarà sempre positiva.
  • Puoi notare che la derivata è sempre positiva su tutto il dominio: \( f'(x) > 0 \) per ogni \(x >0\).
• Man mano che \(x\) aumenta, la funzione \(f(x)\) cresce sempre più lentamente: se disegni le tangenti alla curva, queste tendono ad essere sempre più orizzontali.
  • Ora guarda il grafico di \(f'(x)\): quando \(x\) aumenta, \(f'(x)\) diventa sempre più piccola e sempre più vicina a zero.
• Infine, nel punto \(x=0\) la tangente al grafico è verticale.
  • Nota che \(f'(0)\) non è definita: in \(0\) si annulla il denominatore della frazione. Dal grafico si capisce anche facilmente che \( \lim_{x \to 0^{+}} f'(x) = \pm \infty \).

La posizione di un oggetto su un asse al tempo \(t\) (espresso in secondi) è data dalla funzione \( s(t) = 3t^{2}-4t+1 \) (in metri). Trova la funzione che descrive l'accelerazione in funzione del tempo \(t\).

Soluzione.

L'accelerazione, come abbiamo visto, corrisponde alla derivata seconda della posizione in funzione del tempo. Quindi bisognerà prima calcolare la derivata prima e poi la derivata seconda.

1. La derivata prima corrisponde alla velocità: \( s'(t) = v(t) \).\[ \begin{align}s'(t) &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{s(t+h)-s(t)}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{3(t+h)^{2}-4(t+h)+1-(3t^{2}-4t+1)}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{3t^{2}+6th+3h^{2}-4t-4h+1-3t^{2}+4t-1}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{h(6t+3h-4)}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} (6t+3h-4) \\ & = 6t-4 \\\end{align} \]
   • Quindi \( v(t) = 6t-4 \).
2. L'accelerazione è la derivata della velocità, ovvero la derivata seconda della posizione: \( s''(t) = v'(t) = a(t) \).\[ \begin{align}s''(t) &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{s'(t+h)-s'(t)}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{6(t+h)-4-(6t-4)}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{6t+6h-4-6t+4}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{6h}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} (6) \\ &= 6\end{align} \]
   • Quindi \( \mathbfit{ a(t) = 6 \;m/s^{2} } \).