Studiare le funzioni non serve solamente per torturare gli studenti: qualunque scienza applicata ha bisogno di descrivere delle grandezze con dei mezzi matematici. In Fisica usi delle funzioni per descrivere posizione e velocità, ma ci sono applicazioni in moltissimi campi diversi, ad esempio descrivere il numero di persone colpite da una malattia infettiva, o il numero di utenti connessi a un social network. Tutte queste grandezze non sono fisse, ma variano nel corso del tempo.
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Jetzt kostenlos anmeldenStudiare le funzioni non serve solamente per torturare gli studenti: qualunque scienza applicata ha bisogno di descrivere delle grandezze con dei mezzi matematici. In Fisica usi delle funzioni per descrivere posizione e velocità, ma ci sono applicazioni in moltissimi campi diversi, ad esempio descrivere il numero di persone colpite da una malattia infettiva, o il numero di utenti connessi a un social network. Tutte queste grandezze non sono fisse, ma variano nel corso del tempo.
Capire come descrivere le variazioni di una grandezza nel corso del tempo, o al variare delle condizioni, è fondamentale per fare previsioni. Da un punto di vista matematico, significa studiare come varia la funzione al variare della \(x\): capire quando il valore della funzione sta per aumentare e quando sta per diminuire. Per fare questo serve studiare la derivata della funzione.
La derivata è il tasso di variazione di una funzione in un certo punto. L'hai già vista, senza saperlo, quando hai imparato a calcolare la velocità e le variazioni di velocità nel tempo in Fisica. Ci sono molte altre applicazioni delle derivate:
Sono utili in tutte le branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria.
Sono fondamentali nelle analisi aziendali.
Hanno applicazioni importantissime in medicina e nelle scienze della vita.
Per studiare le derivate, è fondamentale aver capito bene i Limiti. Prima di arrivare a usarli per definire che cos'è la derivata, è meglio ripassare le rette che intersecano il grafico di una funzione.
Per cominciare, è bene fare un ripasso di che cosa sono una retta secante e una retta tangente a una curva. Per calcolare la pendenza di una retta secante al grafico di una funzione, devi partire dai punti in cui retta e grafico si intersecano. Nel disegno questi punti hanno le coordinate \((x_0, f(x_0))\) e \((x_1, f(x_1))\).
Figura 1. Due punti sul grafico della funzione \(f\) e la retta secante che passa per essi.
Per calcolare la pendenza della retta puoi usare la formula del coefficiente angolare. \[ m = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}. \] C'è un altro modo, però, per rappresentare questi due punti evidenziando la loro distanza: fissato \(x_0\), puoi rappresentare \(x_1\) come \(x_0+h\).
Figura 2. Gli stessi due elementi, con una notazione che evidenzia l'incremento, ossia la distanza tra i punti.
In questa forma, il coefficiente angolare della secante si esprime come \[ m_{sec} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]
Entrambe le formule esprimono un rapporto incrementale. Incremento sta per crescita o variazione: il rapporto incrementale permette di capire quanto cresce la funzione sull'asse \(y\) se, rispetto all'asse \(x\), ci si sposta di \(h\).
Data una funzione \( f \) definita su un intervallo \((a, b)\) e \(x_0\) un punto in questo intervallo, \(h\) un numero reale non nullo tale che \(x_0+h \in [a,b]\). Il rapporto incrementale con incremento \(\mathbfit{ h} \), è dato da:\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]
Puoi esprimere il rapporto incrementale anche nella forma \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \] È sempre la stessa formula, solamente scritta in un altro modo, perché \(x_1=x_0+h\).
Se avvicini \(x_1\) a \(x_0\), diminuendo l'incremento \(h\), la retta secante si avvicina sempre di più alla retta tangente al grafico della funzione nel punto \(x_0\). Quando il punto \(x_0+h\) si sovrappone a \(x_0\), il rapporto incrementale dà precisamente il coefficiente angolare della tangente.
Il problema è calcolare il rapporto incrementale se \(h\) è uguale a zero: in questo caso il rapporto non è definito. La soluzione è usare i Limiti per definire la pendenza della retta tangente! Nella formula in cui il rapporto incrementale è basato su \(h\), il limite si otterrà facendo tendere \(h\) a \(0\), mentre nella formula con \(x\) e \(x_0\) il limite sarà calcolato per \(x \to x_0\).
La retta tangente a \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) è la retta passante per il punto \((x_0, f(x_0))\) che ha un coefficiente angolare pari a :\[ m_{tan} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
I due limiti nella definizione sono uguali: tra le due scritture c'è un cambio di variabile.
Usare i limiti per calcolare la pendenza della tangente al grafico della funzione porta dritto dritto al concetto di derivata. Puoi pensare al termine "derivata" come a un nome specifico, che indica il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a \(0\). Ecco la definizione!
La derivata di una funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) si indica con \( f'(x_0) \) (e si legge “f-primo di x zero") si definisce come:\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
se questo limite esiste finito.
In questo caso si dice che la funzione \(f(x)\) è derivabile nel punto \( x_0\).
Non dimenticare l'ultima parte della definizione: la derivata è definita solo se il limite esiste finito. Questo è fondamentale: un limite potrebbe risultare infinito, o non esistere. In questi casi la derivata non esiste!
Come per la secante e la tangente, puoi riscrivere la formula anche nell'altro modo, con \(x\) e \(x_0\) invece che \(x_0\) e \(h\). Il risultato non cambia: il limite ha lo stesso valore. Vediamo un esempio.
Calcola \( f'(2) \) per la funzione:
\[ f(x) = 3x^{2}-4x+1. \]
Soluzione 1:
Usando la formula:\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]Soluzione 2.
Usando la formula:\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]
Entrambi i metodi danno la stessa risposta. In genere negli esercizi si preferisce usare la definizione con \(h\), perché i limiti risultano più semplici da calcolare. In alcuni risultati teorici, però, è più comodo usare la prima definizione: lo vedrai più avanti in questo articolo!
Finora hai considerato la derivata punto per punto. Se consideri tutti i valori sui punti su cui è definita, però, puoi considerare la derivata stessa come una funzione: la funzione derivata. Questa funzione si definisce con una formula specifica: come puoi immaginare, nella formula compare un limite!
Data una funzione \(f(x)\), la sua derivata rispetto a \(x\) è la funzione \(f'(x)\) definita dalla formula
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \]
Il dominio di questa funzione è l'insieme degli \(x\in \mathbb{R}\) per cui questo limite esiste.
Se la derivata esiste per ogni punto del dominio della funzione, si dice che \(f(x)\) è derivabile.
Nota che il dominio della derivata è sempre un sottoinsieme del dominio della funzione \(f(x)\): fuori dal dominio di \(f\), infatti, non è possibile nemmeno definire il limite!
La derivata ha un significato importante: esprime il tasso di variazione di una funzione, ovvero quanto rapidamente la funzione cambia valore. Negli esempi più concreti, la derivata assume un significato più preciso: ad esempio, in fisica spesso si esprime la posizione come una funzione \(s(t)\) della variabile tempo. La derivata \(s'(t)\) descrive quanto rapidamente cambia la posizione nel tempo: un modo complicato di dire che la derivata della posizione è la velocità!
Man mano che proseguirai nello studio delle derivate, troverai metodi sempre più efficienti di calcolarle: li troverai negli articoli sulle derivate di funzioni elementari e sulle regole di derivazione. Usare la formula per la definizione di derivata può essere più lungo e complicato, ma funziona sempre!
Usa la definizione per trovare la derivata della funzione
\[ f(x) = x^{2}-2x. \]
Soluzione:
Considerato che per una derivata viene... derivata a partire da una funzione, è spontaneo aspettarsi che ci sia qualche collegamento anche tra i due grafici. Questo non significa che i grafici abbiano la stessa forma: vediamo un esempio.
Nel grafico qui sotto puoi vedere la funzione \( f(x) = x^{2}-2x \) e la sua derivata \( f'(x) = 2x-2 \).
Figura 3. Grafico di una funzione (blu scuro) e della sua derivata (verde chiaro).
Di certo i grafici non si somigliano molto, ma se osservi attentamente puoi vedere che c'è una relazione tra i due.
Non è scontato vedere subito la relazione tra una funzione e la sua derivata: devi pensare, però, che la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione. Se la derivata è positiva, la retta tangente ha inclinazione positiva, cioè è crescente. Se la derivata è negativa, la retta tangente ha inclinazione negativa: è decrescente. Questo si riflette anche sul grafico della funzione! Puoi approfondire studiando il significato geometrico della derivata e i massimi e minimi delle funzioni.
Dato che la derivata è una funzione, è possibile calcolare anche la derivata della derivata! Cerchiamo di capirne il senso: pensa di nuovo all'esempio "fisico" di prima in cui la funzione di partenza è la posizione in funzione del tempo \(s(t)\). La derivata della funzione posizione è la rapidità con cui cambia la posizione: in altre parole, è la velocità. La derivata della velocità è il tasso di cambiamento della velocità: in questo caso si tratta dell'accelerazione.
Quando calcoli la derivata di una derivata, la nuova funzione si chiama derivata seconda. Puoi continuare il processo e trovare la derivata terza, la derivata quarta e così via. Queste derivate si chiamano derivate di ordine superiore. La notazione per le derivate di ordine superiore di una funzione \(f(x) \) si può esprimere come
\[ f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), \dots, f^{(n)}(x) \] o, in alternativa, se si esprime la funzione come \(y(x)\) o come \(y=f(x)\) si scrive anche
\[ y''(x), y'''(x), y^{(4)}(x), \dots, y^{(n)}(x) .\]
Il grafico della derivata che hai disegnato nell'ultimo esempio è una bella retta, continua e definita su tutti i numeri reali. D'altra parte era continua anche la funzione di partenza. Potrebbe suggerirti che c'è un legame tra derivabilità e continuità: e in effetti è così!
Teorema
Sia \( f(x) \) una funzione definita in un intervallo \((a,b)\) e \(x_0 \in (a,b)\). Se \(f(x)\) è derivabile in \(x_0\), allora è anche continua in \(x_0\).
Dimostrazione del teorema.
Se \(f(x)\) è derivabile in \(x_0\), allora esiste \(f'(x_0)\) e si ha:
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \]
Per mostrare che \(f(x)\) è continua in \(x_0\) bisogna dimostrare che \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0 ) \). Quindi
\[ \begin{align}\lim_{x to x_0 } (f(x)) &= \lim_{x \to x_0 }(f(x)-f(x_0 )+f(x_0 )) \\&= \lim_{x \to x_0 } \left( \frac{f(x)-f(x_0 )}{x-x_0 } \cdot (x-x_0 ) + f(x_0 ) \right) \\&= \left( \lim_{x \to x_0 } \frac{f(x)-f(x_0 )}{x-x_0 } \right) \cdot \left( \lim_{x \to x_0 } (x-x_0 ) \right) + \lim_{x \to x_0 } f(x_0 ) \\&= f'(x_0 ) \cdot 0 + f(x_0 ) \\&= f(x_0 ).\end{align} \]
Ora possiamo concludere: \( f \) è definita in \(x_0 \), \( \lim_{x \to x_0 } f(x))\) esiste e vale \( f(x_0 ) \), quindi \( f(x) \) è continua in \(x_0 \).
Spesso ci si chiede se di un teorema sia vero anche il viceversa. In questo caso, il viceversa sarebbe ipotizzare che una funzione sia continua e dedurne che sia derivabile. Funziona? Purtroppo no.
Come esempio prendiamo la funzione valore assoluto:
\[ f(x) = |x|. \]
Figura 4. Il grafico della funzione valore assoluto.
Sappiamo che questa funzione è continua dappertutto, ma è derivabile? Proviamo a calcolare la derivata nel punto \( x=0 \).
\[ \begin{align}f'(0) &= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{|x|-|0|}{x-0} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}.\end{align} \]
Ma questo limite non esiste: il limite sinistro e quello destro hanno valori diversi!
\[ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x|}{x} = -1 \quad \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x|}{x} = 1. \]
In altre parole, se ti avvicini a \(0\) dai numeri negativi, il limite sinistro del rapporto incrementale vale \(-1\), mentre se ti avvicini da destra il limite destro vale \(+1\). I rapporti incrementali sono diversi sui numeri positivi e negativi: il limite non esiste, e quindi la derivata in \(0\) non esiste!
Questo esempio mostra che non è vero il viceversa del teorema: non è detto che una Funzione continua sia anche derivabile! Altri casi in cui una funzione è continua in un punto, ma non derivabile, sono i seguenti:
x
Vediamo qualche esempio di calcolo delle derivate secondo la definizione.
Calcola la derivata della funzione \(f(x)=\sin(x)\).:
Soluzione.
I limiti notevoli e le strategie per risolvere le forme indeterminate sono fondamentali per calcolare le derivate: eccone un altro esempio!
Calcola la derivata della funzione \( f(x)=\sqrt{x} \).
Soluzione.
Usando una calcolatrice grafica puoi confrontare i grafici delle due funzioni.
x
x
x
Confronta i grafici della funzione\( f(x)=\sqrt{x} \) e della sua derivata \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Figura 5. Grafico della funzione \(\sqrt{x}\) e della sua derivata.
Osserva la relazione tra il grafico della funzione, in blu scuro, e della sua derivata, in verde chiaro.
Infine, un esempio a tema fisico con derivate di ordine superiore: posizione, velocità e accelerazione.
La posizione di un oggetto su un asse al tempo \(t\) (espresso in secondi) è data dalla funzione \( s(t) = 3t^{2}-4t+1 \) (in metri). Trova la funzione che descrive l'accelerazione in funzione del tempo \(t\).
Soluzione.
L'accelerazione, come abbiamo visto, corrisponde alla derivata seconda della posizione in funzione del tempo. Quindi bisognerà prima calcolare la derivata prima e poi la derivata seconda.
x
La derivata di una funzione è un modo per calcolare la velocità con cui la funzione cambia. Rappresenta la pendenza della funzione in un punto: una derivata con un valore positivo alto dice che la funzione sta crescendo molto velocemente, una derivata con un valore negativo dice che la funzione sta calando.
Per calcolare le derivate si può usare la formula nella definizione, oppure si può aiutarsi con alcune derivate fondamentali e le regole per combinarle.
Le derivate fondamentali si calcolano a partire dalla definizione: si applica la formula per calcolare il limite del rapporto incrementale. Questo è il metodo più lungo per calcolare una derivata. Imparando le derivate fondamentali, però, si possono calcolare molto più facilmente le derivate di un'enorme quantità di funzioni.
La derivata di 3x è 3.
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Start learningLa derivata nel punto \(x_0\) corrisponde alla pendenza...
...della retta tangente in \(x_0\).
Che cos'è un rapporto incrementale?
Data una funzione \( f \) definita su un intervallo \((a, b)\) e \(x_0\) un punto in questo intervallo, \(h\) un numero reale non nullo tale che \(x_0+h \in [a,b]\). Il rapporto incrementale con incremento \(\mathbfit{ h} \), è dato da:
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]
Come si definisce la derivata di una funzione in un punto?
La derivata di una funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) si indica con \( f'(x_0) \) (e si legge “f-primo di x zero") si definisce come:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
se questo limite esiste finito.
Quali di queste grandezze si trovano calcolando una derivata?
Velocità
Come si definisce la funzione derivata?
Data una funzione \(f(x)\), la sua derivata rispetto a \(x\) è la funzione \(f'(x)\) definita dalla formula
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \]
Il dominio di questa funzione è l'insieme degli \(x\in \mathbb{R}\) per cui questo limite esiste.
Quale di queste affermazioni riassume il contenuto di un teorema?
Se una funzione è continua, allora è anche derivabile.
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