Quando arrivi a studiare i logaritmi di solito pensi di aver toccato il limite della massima difficoltà in matematica. Poi cominci a vedere la definizione di funzione, il dominio, il codominio, e quel limite di difficoltà si sposta. Ma è ancora più complicato studiare cosa succede quando ti avvicini al limite del dominio della funzione: per risolvere questo problema è stato inventato il concetto di... limite.
Concetto intuitivo di limite
I limiti vengono definiti in un modo piuttosto complicato e formale. Prima di vedere la definizione conviene farsi un'idea del problema da affrontare.
Guarda i grafici delle funzioni seguenti.
\[ f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2}, \; \; g(x) = \frac{|x-2|}{x-2}, \; \; h(x) = \frac{1}{(x-2)^{2}} \]
Ci interessa in particolare controllare cosa succede nei tre casi vicino al punto \( x_0=2 \).
Figura 1. Tre funzioni non definite nel punto \(x=2\) hanno comportamenti molto diversi tra loro.
Perché osservare proprio il punto \(x_0=2\)? Beh, perché se c'è una cosa che queste funzioni hanno in comune, è che nessuna delle tre è definita in questo punto! Come vedi, ci sono tre comportamenti molto diversi: nel primo caso si vede semplicemente un "buco" nel grafico. Potresti dire che, avvicinandoti sempre di più al punto \(x_0=2\), al limite il valore della funzione è 4.
Nel secondo caso i valori della funzione sono solo due: vicino al punto \(x_0=2\) c'è un "salto". Se mi avvicino a \(x_0=2\) da destra, il valore della funzione resta \(1\), mentre a sinistra è \(-1\).
Infine, nel terzo caso, la linea del grafico si avvicina alla retta verticale di equazione \(x=2\) senza toccarla mai. Stavolta, man mano che ti avvicini a \(2\) sull'asse \(x\), il limite che la funzione cerca di raggiungere su \(f(x)\) è \(+\infty\)!
Questi esempi suggeriscono che non sia facile capire cosa fa una funzione vicino a un punto dove non è definita: ci vuole qualche strumento matematico per capire cosa succede. L'idea è proprio questa: avvicinarsi piano piano a un punto e vedere cosa succede alla funzione al limite.
Nota anche che le funzioni dell'esempio non sono definite nel punto \(x_0=2\): tutte e tre, però, sono definite in punti molto vicini a questo. D'altra parte, non avrebbe molto senso, ad esempio, chiedersi cosa succede a \(\sqrt{x}\) vicino a \(-10\): non si cerca mai il limite di una funzione in un punto lontano dal suo dominio.
I limiti si cercano sempre in punti "molto vicini" al dominio della funzione: questi si definiscono punti di accumulazione. Per dirlo in modo più formale, bisogna esprimere "essere molto vicini a un punto \(x_0\)" in matematichese. L'idea è fissare un numero piccolo, che si indica con \(\delta\) (questa lettera si legge "delta"): sono "molto vicino al punto" se mi trovo a una distanza minore di \(\delta\) dal punto. In altre parole, una \(x\) è "molto vicina" a \(x_0\) se \( |x_0-x| < \delta\).
Il valore assoluto della differenza \(|a-b|\) indica la distanza tra due numeri \(a\) e \(b\) sulla retta reale.
Si dice che \(x_0\) è un punto di accumulazione per \(A\subseteq \mathbb{R} \) se esistono punti di \(A\) arbitrariamente vicini ad \(x_0\); più formalmente, se, per ogni \(\delta>0\) esiste \(x \in A\) tale che \(|x-x_0| < \delta\).
Definizione di limite finito per \(x \rightarrow x_0\)
Cominciando dalla funzione \(f(x)\), cerchiamo di definire cosa vuol dire questo limite della funzione nel punto \(x_0=2\). Forse la cosa più spontanea è calcolare una tabella di valori: scegliendo varie \(x\) con un valore vicino a \(x_0=2\) si calcola il valore corrispondente di \(f(x)\).
| \(x\) | \(f(x) \) |
| 1,9 | 3,9 |
| 1,95 | 3,95 |
| 1,98 | 3,98 |
| 2,02 | 4,02 |
| 2,05 | 4,05 |
| 2,1 | 4,1 |
Tabella 1. Valori di \(f(x)\) per scelte di \(x\) vicine a \(2\).
Più il valore di \(x\) è vicino a \(2\), e più il valore di \(f(x)\) è vicino a \(4\). Bene: allora potrei dire che il limite della funzione in un punto vale \(L\) (in questo caso, \(L=4\) se, ogni volta che \(x\) è "molto vicino" a \(x_0\), i valori di \(f\) risultano "molto vicini" a \(L\).
Pensa a cosa succede alla funzione \(f\) nell'esempio precedente: se prendi una \(x\) "molto vicina" al punto \(x_0=2\) fissato, il valore \(f(x)\) corrispondente sarà "molto vicino" a \(4\). "Molto vicino" si dovrà dire nello stesso modo: ovvero, \(f(x)\) dovrà trovarsi a una distanza "piccola" , da \(4\), diciamo al massimo \(\varepsilon\) (questa lettera si legge "epsilon").
Fissato \(A \subseteq \mathbb{R}\), una funzione \(f : A \rightarrow \mathbb{R}\), un numero \(x_0 \in \mathbb{R}\) che sia punto di accumulazione di \(A\) e un valore \(L \in \mathbb{R}\).
Si dice che \(L\) è il limite di \(f\) per \(x\) che tende a \(x_0\), e si scrive
\[ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = L\]
se, per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta>0\) tale che
\[\text{per ogni }\; x \in A \text{ con } |x_0-x| < \delta \tag{1}\] si ha \[ L-\varepsilon < f(x)< L+\varepsilon \tag{2}\]
Vediamo come La prima cosa che fa la definizione è precisare i termini: hai una funzione definita su un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\). Poi si inventa una scrittura per indicare che un numero reale \(L\) è il limite di una funzione in un punto \(x_0\). Nell'esempio della funzione \(f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2}\), si aveva \(L = 4\) e \(x_0=2\).
La frase successiva vuol dire questo: tu scegli una distanza massima \(\varepsilon\) per i valori \(f(x)\) della funzione. Nell'immagine vedi una possibile scelta di \(\varepsilon\) nel caso della funzione \(f(x)\): l'obiettivo è definire una zona abbastanza vicina a \(x_0\) perché tutti i suoi punti vengano portati dalla funzione nell'intervallo evidenziato. Questo intervallo è precisamente \((L-\varepsilon, L+\varepsilon)\) che nel nostro caso è \((4-\varepsilon, 4+\varepsilon)\).
Figura 2. I valori di \(y\) nella zona evidenziata sono distanti da \(y=4\) meno del valore \(\varepsilon\).
Più precisamente, serve una distanza \(\delta\) con questa caratteristica: tutti i punti di \(A\) che sono lontani al massimo \(\delta\) da \(x_0\), hanno i valori \(f(x)\) "vicini" a \(L\). Qui "vicini" indica precisamente "a distanza minore di \(\varepsilon\)". Nel caso in esempio, tutte le \(x\) distanti meno di \(\delta\) da \(2\) devono portare a corrispondenti \(f(x)\) vicine a \(4\) (la distanza dev'essere minore di \(\varepsilon\)). Si tratta della zona evidenziata lungo l'asse \(x\) sul disegno: tutte le \(x\) comprese tra \(2-\delta\) e \(2+\delta\). Espresso in simboli: \(2-\delta < x < 2+\delta\), che corrisponde all'intervallo aperto \( (2-\delta, 2+\delta) \).
Figura 3. Fissato \(\varepsilon\), c'è un \(\delta\) per cui tutti i valori "vicini più di \(\delta\)" a \(2\) vengono portati dalla funzione a una distanza massima di \(\varepsilon\) dal limite \(4\).
L'idea ora è che per ogni scelta di \(\varepsilon\) bisogna controllare che esista un \(\delta\) come sopra. Insomma, dovresti fare infiniti controlli. Per fortuna, alcuni risultati teorici aiutano nel risolvere gli esercizi!
Definizione di limite infinito per \(x \rightarrow x_0\)
x
La definizione appena vista non descrive cosa succede alla funzione \(h(x)\) dell'esempio. In quel caso, man mano che ci si avvicina al valore \(x_0=2\) la funzione prende valori sempre più grandi. Traducendo in matematichese: se fisso un valore \(M\) grande quanto voglio, allora potrò trovare una distanza \(\delta\) per cui tutti gli \(x\) "vicini" prendono un valore maggiore di \(M\).
Fissato \(A \subseteq \mathbb{R}\), una funzione \(f : A \rightarrow \mathbb{R}\) e un numero \(x_0 \in \mathbb{R}\) che sia punto di accumulazione di \(A\).
Si dice che il limite di \(f\) per \(x\) che tende a \(x_0\) è infinito, e si scrive
\[ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = + \infty\]
se, per ogni \(M > 0\) esiste \(\delta>0\) tale che
\[\text{per ogni }\; x \in A \text{ con } |x_0-x| < \delta \; \text{ si ha } \; f(x) > M\]
Si può ripetere la stessa cosa per il valore \(- \infty\):
Fissato \(A \subseteq \mathbb{R}\), una funzione \(f : A \rightarrow \mathbb{R}\) e un numero \(x_0 \in \mathbb{R}\) che sia punto di accumulazione di \(A\).
Si dice che il limite di \(f\) per \(x\) che tende a \(x_0\) è meno infinito, e si scrive
\[ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = - \infty\]
se, per ogni \(M > 0\) esiste \(\delta>0\) tale che
\[\text{per ogni }\; x \in A \text{ con } |x_0-x| < \delta \; \text{ si ha } \; f(x) < M\]
Ricorda che \(+\infty, -\infty\) non sono numeri reali: nell'ambito dei limiti, significano che la funzione arriva ad assumere valori più grandi (o più piccoli, nel caso di \(-\infty\) di qualunque numero reale. Un po' quello che, nell'esempio, succedeva sulla funzione \(h(x)\). La funzione si avvicina sempre di più alla retta \(x=2\) senza toccarla mai: in una situazione di questo tipo si dice che la retta è un asintoto verticale per la funzione.
Figura 4. Limite infinito in corrispondenza del punto \(x_0 =2\).
Limite destro e sinistro
Non è detto che i limiti esistano sempre. Hai visto un esempio con la funzione \(g(x) = \frac{|x-2|}{x-2}\) vicino al punto \(x_0=2\). In questo caso, è come se la funzione avesse due limiti diversi che non vanno d'accordo tra loro: c'è un comportamento diverso a destra di \(2\) e uno a sinistra di \(2\).
Fissato \(A \subseteq \mathbb{R}\), una funzione \(f : A \rightarrow \mathbb{R}\), un numero \(x_0 \in \mathbb{R}\) che sia punto di accumulazione di \(A\) e \(L \in \mathbb{R}\).
- Si dice che \(L\) è il limite destro di \(f\) per \(x\) che tende a \(x_0\), se, per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \( x \in A\) con \( x_0< x < x_0+ \delta \), si ha \( | f(x) - L | < \varepsilon \). Il limite destro si indica con \[ \lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x) = L\]
- Si dice che \(L\) è il limite sinistro di \(f\) per \(x\) che tende a \(x_0\) se, per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta>0\) tale che per ogni \( x \in A \) con \( x_0-\delta < x < x_0\) si ha \( | f(x) - L | < \varepsilon \). Il limite sinistro si indica con \[ \lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x) = L\]
A volte si specifica anche che "\(x\) tende a \(x_0\) da destra" o "da sinistra" per sottolineare il concetto.
Figura 5. Nel punto \(x_0=2\) la funzione ha un limite destro e sinistro distinti tra loro.
Distinguere limite destro e sinistro è utile in molti casi: a volte, come nel caso di \(g(x)\), risultano diversi tra loro. Oppure può capitare di avere una funzione definita a tratti, con due leggi diverse a destra e sinistra di un punto: in questo caso devi fare due calcoli diversi.
Nota una cosa: se in un punto esiste un limite, allora esistono anche quello destro e sinistro, e sono uguali. È vero anche il viceversa: se esistono il limite destro e sinistro, e sono uguali, allora esiste anche il limite! Vedrai meglio questo aspetto studiando i teoremi sui limiti.
Definizione di limite per \(x\) che tende a infinito
Osserva nuovamente il grafico della funzione \(h(x) = \frac{1}{(x-2)^2}\) in figura 4. Si tratta di una funzione sempre positiva: il suo grafico tende ad avvicinarsi alla retta verticale \(x=2\) senza toccarlo mai. Succede una cosa simile, però, anche con l'asse delle \(x\): la funzione tende ad avvicinarsi all'asse senza toccarlo. Dato che il numeratore è \(1\), infatti, la funzione non si annulla mai.
Il concetto di limite descrive anche questo comportamento: l'idea è che il limite di \(h\) per \(x\) che tende a infinito è vale zero. Come puoi immaginare, ci vuole una definizione specifica: un caso per più infinito \(+\infty\), e un altro caso per meno infinito \(-\infty\).
Si dice che la funzione \(f(x)\) ha un limite \(L\) per \(x\) che tende a \(+\infty\), e si scrive:
\[ \lim_{x \rightarrow + \infty } f(x) =L \] se, per ogni \(\varepsilon> 0\) esiste un numero \(N>0\) tale che per ogni \(x>N\) si ha \(|f(x)-L| < \varepsilon\).
In modo simile, si dice che \(f(x)\) ha limite \(L\) per \(x\) che tende a \(- \infty\), e si scrive:
\[ \lim_{x \rightarrow - \infty } f(x) =L \] se, per ogni \(\varepsilon> 0\) esiste un numero \(N>0\) tale che per ogni \(x < - N\) si ha \(|f(x)-L| < \varepsilon\).
C'è ancora un ultimo caso: quello che descrive il comportamento della funzione \(f(x\) quando \(x\) tende a \(\pm \infty\). In questo caso, il valore di \(x\) continua a crescere per le \(x\) positive e a diminuire per quelle negative: puoi immaginare che i valori di questi due limiti saranno rispettivamente \(+\infty\) e \(-\infty\)!
Data una funzione \(f(x)\), si dice che ha un limite infinito per \(x\) che tende a infinito in uno dei seguenti casi:
- \(\lim_\limits{x \rightarrow + \infty } f(x) = + \infty \) se, per ogni \( M > 0\) esiste un numero \(N>0\) tale che per ogni \(x>N\) si ha \(f(x) > M\).
- \( \lim_\limits{x \rightarrow + \infty } f(x) = - \infty \) se, per ogni \( M > 0\) esiste un numero \(N>0\) tale che per ogni \(x>N\) si ha \(f(x) < - M\)
- \( \lim_\limits{x \rightarrow - \infty } f(x) = + \infty \) se, per ogni \( M > 0\) esiste un numero \(N>0\) tale che per ogni \(x< - N\) si ha \(f(x) > M\).
- \( \lim_\limits{x \rightarrow - \infty } f(x) = - \infty \) se, per ogni \( M > 0\) esiste un numero \(N>0\) tale che per ogni \(x < - N\) si ha \(f(x) < - M\).
Calcolo di limiti: esempi
Finora hai visto come si definiscono i limiti nei vari casi. Le funzioni viste nell'esempio iniziale sono state utili per capire il significato dei concetti, ma non c'è ancora nessuna dimostrazione del fatto che i limiti sono davvero quelli. Calcolare i limiti usando la definizione è noioso, ma utile per capirne meglio il significato.
Dimostra che risulta: \[\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} =4.\]
Si tratta della funzione \(f(x)\) nell'esempio iniziale: seguendo la definizione, bisogna mostrare che per ogni scelta di \(\varepsilon > 0\) si trova un \(\delta > 0\) per cui, scelto qualunque \(x\) con \(|x-2|<\delta\) allora \(|f(x)-4| < \varepsilon\).
Conviene partire proprio da questa disuguaglianza: fissato un certo \(\varepsilon > 0\), devi dimostrare che
\[ \left| \frac{x^{2}-4}{x-2} - 4 \right| < \varepsilon\]
L'idea è che questa disequazione sarà valida solo per certi valori di \(x\): trovare quali sono questi valori ti permetterà di trovare \(\delta\). Metti al minimo comune denominatore e svolgi i calcoli:
\begin{align}\left| \frac{(x^2-4) - 4(x-2)}{x-2} \right| < \varepsilon \\ \left| \frac{x^{2} - 4 - 4x+8}{x-2} \right| < \varepsilon \\ \left| \frac{x^{2} - 4x+4}{x-2} \right| < \varepsilon \end{align}
Nota che al denominatore c'è il quadrato di un binomio. Puoi scomporlo e poi semplificare:\begin{align}\left| \frac{(x-2)^{\cancel 2}}{\cancel{ x-2}} \right| < \varepsilon \\ \left| x-2 \right| < \varepsilon \tag{a} \ \end{align} Ora devi trovare una distanza \(\delta\): l'obiettivo è che se \(|x-2| < \delta\), la disuguaglianza \((\mathrm{a})\) risulti vera. Va bene qualunque \(\delta \leq \varepsilon\): anche se scegli \(\delta=\varepsilon\) la disuguaglianza risulta sempre vera.
Puoi controllarlo sostituendo a \(\varepsilon\) qualsiasi valore positivo: ad esempio, se \(\varepsilon = 0,1\), allora \(x\) dovrà essere scelta tra \(2 - 0,1 =1,9\) e \(2+0,1 =2,1\), cioè nell'intervallo \((1,9 \, ;\, 2,1)\). Per qualunque \(x\) in questo intervallo si ha\[\left| x-2 \right| < 0,1 = \varepsilon\] Se non ti convince, prova a sostituire dei valori a \(x\): ad esempio, se scegli \(x=1,95\) hai che \[|x-2|=|1,95-2|=0,05 < 0,1 =\varepsilon\]
A questo punto è il turno di \(h(x)\).
Dimostra che risulta \[ \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{1}{(x-2)^{2}} =0\]
In questo esercizio hai un limite per \(x\) che tende a infinito: nota che non compare né il più né il meno. Questo significa che entrambi i limiti, per \(x\) che tende a \(+ \infty\) e \(x\) che tende a \(- \infty\), hanno lo stesso valore. Per fare questo esercizio bisogna mostrare che, fissato qualunque numero piccolo \(\varepsilon\), si può sempre scegliere un numero \(N\) in modo che, se \(x > N\), si abbia \[\left|\frac{1}{(x-2)^{2}} - 0 \right| < \varepsilon \tag{1}\]
Come nel caso precedente, ti conviene lavorare sulla disuguaglianza appena vista: dato che il limite è \(0\), devi fare in modo che
\[\left|\frac{1}{(x-2)^{2}} \right| < \varepsilon \]
In questo caso, \(\varepsilon\) è fissato e devi trovare \(x\). Come prima cosa, nota che il valore assoluto si può togliere: il termine a sinistra è sempre positivo. Inoltre puoi portare tutto allo stesso denominatore ed eliminarlo.
\[\frac{1}{\cancel {(x-2)^{2}}} < \frac{\varepsilon (x-2)^{2}}{\cancel {(x-2)^{2}}} \]
Bene: ora dividi per \(\varepsilon\) in modo da isolare la \(x\) a destra e sviluppa il quadrato.
\begin{align}\frac{1}{\varepsilon}< (x-2)^2 \\ \frac{1}{\varepsilon}< x^2 -4x+4 \end{align}
A questo punto conviene portare tutto dallo stesso lato e ribaltare la disuguaglianza.
\begin{align} 0 < x^2 -4x+4 - \frac{1}{\varepsilon} \\ x^2 -4x+4 - \frac{1}{\varepsilon}> 0 \tag{2}\end{align}
Ora hai un'equazione di secondo grado in \(x\), che si risolve come sempre.
\begin{align}x_{1,2} & = \frac{4\pm \sqrt{16-4\left(4- \frac{1}{\varepsilon}\right)}}{2} =\frac{4\pm \sqrt{16-16+ \frac{4}{\varepsilon}}}{2} \\ & = \frac{1}{2} \left( 4 \pm \sqrt{\frac{4}{\varepsilon}} \right) = \frac{4}{2} \pm \frac{2}{2\sqrt{\varepsilon}} = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \end{align}
Le due soluzioni sono \(x_1=2 + \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\) e \(x_2=2 - \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\). La disequazione \((2)\) è verificata per tutti i valori esterni alle due soluzioni, ovvero per \(x < x_2\) o \(x >x_1\).
Per capire come interpretare questo risultato nel contesto del limite, è meglio dare un valore alle soluzioni: scegli un valore piccolo a piacere per il numero \(\varepsilon\) e sostituiscilo. Ad esempio, se scelgo \(\varepsilon = \frac{1}{100}\), ottengo \begin{align}x_1&=2 + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{100}}} = 2 + \frac{1}{\frac{1}{10}} = 2+10=12 \\ x_2& = 2- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{100}}} = 2-10=-8\end{align}
Questo significa che: fissato \(\varepsilon =\frac{1}{100}\), la disequazione di partenza (1) è verificata per ogni \(x\) più grande di 12 e per ogni \(x\) più piccolo di \(-8\).
Per concludere: per ogni fissato \(\varepsilon\), puoi risolvere la disequazione (1) e ottenere due valori di \(x_1\) e \(x_2\). Questi sono i \(\delta\) che ti servono nella definizione di limite: \(x_1\), che risulta positivo, è il valore di \(\delta\) che ti permette di dimostrare il limite per \(x \rightarrow + \infty \). L'altro valore \(x_2\), quello negativo, riguarda invece il limite per \(x \rightarrow - \infty\).
Ora è il turno della funzione \(g(x)\). In questo caso il limite non esiste: vediamo come dimostrare che è così!
Dimostra che non esiste il limite \(lim_{x \rightarrow 2} \frac{|x-2|}{x-2}\).
Dal grafico di questa funzione in figura 5 vedi bene che la funzione assegna il valore \(-1\) alle \(x\) minori di 2 e il valore (1\) alle \(x\) maggior di 2. Per cercare un limite dovresti avere un valore \(L\) per cui la distanza \(|g(x)-L|\) risulta piccola sia per \(x\) maggiore che per \(x\) minore di 2. Ovvero, fissato un \(\varepsilon\) piccolo dovresti poter trovare un \(\delta\) tale che
\[ |g(2-\delta)| < \varepsilon , \;\; |g(2 + \delta) -L| < \varepsilon \]
Ora, \(|g(2-\delta) -L| = |L- g(2-\delta)|\): all'interno del modulo puoi sempre cambiare il segno. Le due disuguaglianze si possono sommare, e puoi sostituire i valori di \(g(x)\) nei due punti, ottenendo:
\begin{align} |L - g(2-\delta)| + |g(2 + \delta) -L| < 2 \varepsilon \\ |L - (-1)| + |1 -L| < 2 \varepsilon \\ |L +1| + |1 -L| < 2 \varepsilon \end{align}
Nel modulo a sinistra puoi usare la disuguaglianza triangolare: la somma dei moduli di due valori è sempre maggiore del modulo della somma.
\[ | L +1+1-L| < |L +1| + |1-L| \]
Ora mettendo assieme queste ultime due disuguaglianze ottieni:
\[ | L +2 -L| < 2 \varepsilon \]
Nel membro sinistro puoi eliminare \(L\) e \(-L\) e sostituire i valori di \(g\):
\begin{align} 2 < 2 \varepsilon \\ 1 < \varepsilon \end{align}
Quello che hai ricavato ti dice la distanza \(|g(x)-L|\) non si può rendere più piccola di \(\varepsilon\) se questo numero è minore e uguale a \(1\): cioè, che qualunque "candidato limite" non potrà essere abbastanza vicino ai valori della funzione sia a destra che a sinistra. Guardando il grafico risulta ovvio: meglio così, perché significa che tutte queste complicate definizioni di limite si comportano come dovrebbero seguendo l'intuizione.
Come ultimo esempio, un caso davvero patologico: alcune funzioni non hanno limite in modo molto più complicato di altre!
Considera la funzione \(\sin \left(\frac{1}{x} \right)\) nella zona attorno a \(0\) . Andando a studiare cosa succede per \(x \rightarrow 0\) ci si rende conto subito che il limite non esiste: una prima idea è fare una tabella di valori. In questo caso, i valori comodi sono quelli del tipo \(x=\frac{2}{k\pi}\): questo perché \(\frac{1}{x} = \frac{k\pi}{2}\), e quindi il seno risulta intero. Allo stesso tempo, se aumenti il valore di \(k\), il numero \(x=\frac{2}{k\pi}\) risulta sempre più piccolo e sempre più vicino a \(0\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
| \(\frac{2}{\pi}\) | \(\sin \left(\frac{1}{x} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1\) |
| \(\frac{2}{2\pi} \) | \(\sin \left(\frac{1}{x} \right) = \sin \pi = 0\) |
| \(\frac{2}{3\pi}\) | \(\sin \left(\frac{1}{x} \right) = \sin \frac{3\pi}{2}= -1\) |
| \(\frac{2}{4\pi}\) | \(\sin \left(\frac{1}{x} \right) = \sin 2 \pi = 0\) |
| \(\frac{2}{5\pi}\) | \(\sin \left(\frac{1}{x} \right) = \sin \frac{5\pi}{2} = 1\) |
| \(\frac{2}{6\pi}\) | \(\sin \left(\frac{1}{x} \right) = \sin 3 \pi = 0\) |
| \(\frac{2}{7\pi}\) | \(\sin \left(\frac{1}{x} \right) = \sin \frac{7\pi}{2}= -1\) |
Tabella 2. Valori della funzione \(\sin \left(\frac{1}{x} \right)\) per \(x\) che si avvicina a \(0\).
Come vedi dalla tabella, man mano che ci si avvicina a \(0\) i valori della funzione continuano a cambiare, oscillando tra \(-1\) e \(1\). Se usi un'app per stampare un grafico, noterai una specie di barra verticale nella zona intorno a \(0\): la funzione oscilla così tanto che non si riescono nemmeno a stampare in modo distinto le gobbe della curva!
Figura 6. La funzione \(f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) vicino a \(x_0=0\).
Questo non è una dimostrazione del fatto che il limite non ci sia: ma nella maggior parte dei casi non dovrai fare dimostrazioni rigorose come quelle degli esempi precedenti. È importante, quindi, riuscire a scrivere dimostrazioni precise, ma è più importante farsi un'idea del comportamento della funzione.
Limiti - Punti chiave
- Il limite è un'operazione che permette di calcolare come si comporta una funzione vicino a un punto.
- Si dice che \(x_0\) è un punto di accumulazione per \(A\subseteq \mathbb{R} \) se esistono punti di \(A\) arbitrariamente vicini ad \(x_0\). I limiti si possono definire nei punti di accumulazione del dominio di una funzione.
- Per definire i limiti, si fissa \(A \subseteq \mathbb{R}\), una funzione \(f : A \rightarrow \mathbb{R}\), un numero \(x_0 \in \mathbb{R}\) che sia punto di accumulazione di \(A\) e un valore \(L \in \mathbb{R}\).
- Si dice che \(L\) è il limite di \(f\) per \(x\) che tende a \(x_0\) se, per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta>0\) tale che per ogni \( x \in A \) con \(|x_0-x| < \delta \) si ha \( L-\varepsilon < f(x)< L+\varepsilon \). Si scrive come: \( \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = L\).
- Si dice che il limite di \(f\) per \(x\) che tende a \(x_0\) è più infinito (o meno infinito), e si scrive se, per ogni \(M > 0\) esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \( x \in A \) con \(|x_0-x| < \delta \) si ha \(f(x) > M\) ( \(f(x) < -M\) nel caso del meno infinito). Si scrive rispettivamente \( \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = + \infty \) o \( \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = - \infty \).
- A volte non esiste un limite: la funzione, a destra e a sinistra di un punto \(x_0\), assume valori diversi. Si usa il concetto di limite destro e limite sinistro per studiare separatamente cosa succede per le \(x\) maggiori di \(x_0\) e per le \(x\) minori di \(x_0\).
- Si dice che la funzione \(f(x)\) ha un limite \(L\) per \(x\) che tende a più infinito se, per ogni \(\varepsilon> 0\) esiste un numero \(N>0\) tale che per ogni \(x>N\) si ha \(|f(x)-L| < \varepsilon\). In questo caso si scrive:\( lim_{x \rightarrow + \infty } f(x) =L \). In modo analogo si definisce il limite per \(x\) che tende a meno infinito.
- Alcuni esercizi chiedono di calcolare o dimostrare il valore di un limite seguendo la definizione. Per fare questo devi supporre di avere un valore fissato \(\varepsilon\), studiare la disuguaglianza \(|f(x)-L| < \varepsilon\) e ricavare per quali \(x\) è vera la disequazione. Questo ti consente di ricavare i \(\delta\) richiesti dalla definizione.
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