I grafici sono utilizzati per rappresentare grandezze in qualsiasi disciplina: dalla finanza, all'ingegneria, persino in psicologia! Osservare il grafico di una funzione consente di analizzare rapidamente modelli e tendenze: si vedono massimi e minimi, si capisce se la funzione prende un valore particolare o no, si intuisce cosa succede per valori molto grandi o molto piccoli della variabile.
Per fare un grafico, però, bisogna sapere precisamente cosa rappresentare e fare dei calcoli. Serviranno tutte le nozioni che hai imparato sulle funzioni: calcolarne il dominio, trovare il comportamento asintotico, capire se la funzione è crescente o decrescente, concava o convessa, dove sono i massimi e i minimi.
Studio di funzione completo: i passaggi
In alcuni esercizi ti viene richiesto di fare uno studio di funzione completo: questo richiede di fare tutti i passaggi che sono elencati nella lista seguente. Cerca di memorizzare anche l'ordine, perché alcuni passaggi vengono facilitati da altre che hai fatto prima: ad esempio, se vedi che il dominio è asimmetrico, di certo la funzione non sarà pari né dispari.
Dominio. La prima operazione da svolgere è calcolare il campo di esistenza della funzione. A seconda del tipo di funzione devi imporre delle condizioni di esistenza diverse.
Simmetrie e periodicità. Cerca di stabilire se la funzione è pari o dispari, o se è periodica. Puoi saltare questo passaggio se il dominio non rispetta certi requisiti.
Studio del segno e intersezione con gli assi. Studia gli zeri, ovvero i punti dove la funzione si annulla, e poi deduci dove la funzione è positiva o negativa. Nel primo caso il grafico si troverà sopra l'asse \(x\), nel secondo sotto.
Comportamento agli estremi del dominio. In questo passaggio devi studiare come si comporta la funzione negli estremi dell'insieme in cui è definita: in altre parole, devi calcolare dei limiti, uno per ogni "punto di confine" del dominio. Se il dominio è \(\mathbb{R}\), studierai i limiti della funzione solo per \(\pm \infty\).
Derivata prima. Calcola la derivata della funzione e studia dove è positiva o negativa: questo ti permette di capire dove la funzione è crescente o decrescente e di trovare i massimi e i minimi.
Derivata seconda. Calcola la derivata seconda della funzione e studiane il segno per capire dove la funzione è convessa e dove concava.
Non è detto che in tutti gli esercizi ti venga richiesto uno studio di funzione completo: in alcuni casi è sufficiente fare solo una parte di questi passaggi. Leggi attentamente le consegne per capire cosa fare!
Dominio
Quando hai studiato la definizione di funzione hai visto che il dominio è l'insieme su cui la funzione è definita. Questo insieme può essere anche cambiato e ristretto in modo arbitrario: non è questo, però, quello che ci interessa nel caso di uno studio di funzione. Quello che devi fare in un esercizio che chiede di studiare il dominio di una funzione è impostare e risolvere le condizioni di esistenza. Le condizioni di esistenza vanno messe a sistema: la funzione è definita solo quando sono tutte verificate.
Ecco una lista delle condizioni di esistenza delle funzioni più comuni:
Le funzioni polinomiali, le funzioni esponenziali, le radici con indice dispari, seno e coseno sono definite \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Le radici con indice pari sono definiti solo se il radicando è \(\geq 0\).
Le funzioni razionali fratte sono definite se il denominatore è \(\neq 0\).
Le funzioni logaritmiche sono definite se l'argomento è \(> 0\).
La tangente è definita solo sui reali per cui il coseno è \(\neq 0\)
Trova il dominio della funzione: \[f(x)= \frac{1}{\tan x }.\]
Soluzione.
Questa funzione ha due problemi di definizione:
- contiene una tangente, che non è definita su tutti i reali;
- c'è un denominatore che deve essere non nullo.
Bisogna impostare due condizioni di esistenza:
- la C.E. della tangente: non esiste dove il coseno è nullo, cioè per \(x = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \dots\) Espresso in una formula più concisa, \( x \neq \frac{2k+1}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\).
- la C.E. della frazione: si deve avere \(\tan x \neq 0\). Quindi si devono escludere tutti i punti dove il seno è nullo, ovvero \(x=0, \pi, -\pi, 2\pi, \dots\) Riassumendo in una sola formula: \( x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}\).
Queste due condizioni devono essere entrambe vere: la funzione è definita per \(x=k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \).
Se il dominio di una funzione periodica non ti sembra scritto correttamente, puoi provare a sostituire \(k\) con qualche numero: \(1, -1, 2, -2\) e così via, e vedere se i risultati sono quelli che ti aspetti.
Simmetrie: funzioni pari e dispari
Una funzione è simmetrica se il suo grafico presenta una simmetria rispetto agli assi. Ci sono due tipi di simmetrie del grafico importanti.
Una funzione è pari se \(f(-x)=f(x)\) per ogni \(x\) nel dominio della funzione: il suo grafico ha una simmetria di riflessione rispetto all'asse \(y\).
Una funzione è dispari se \(f(-x)=-f(x)\) per ogni \(x\) nel dominio della funzione: il suo grafico ha una simmetria di rotazione (180°) rispetto all'origine.
Perché una funzione sia pari o dispari, deve essere simmetrico anche il dominio: se non è così, puoi dedurre subito che la funzione non è simmetrica!
Per trovare se una funzione è pari o dispari ti basta calcolare \(f(-x)\): sostituisci \(-x\) al posto di \(x\) nella legge della funzione e guarda cosa risulta.
Studia le simmetrie della funzione: \[g(x)=\frac{x^3-2x}{4}.\]
Soluzione.
Il dominio è \(\mathbb{R}\). Sostituisci \(-x\) al posto di \(x\) per vedere se ci sono simmetrie: \[g(-x)=\frac{(-x)^3-2(-x)}{4} = \frac{ -x^3+2x}{4} = - \frac{x^3-2x}{4} = -g(x)\] Risulta \(g(x)\) cambiata di segno: questo significa che la funzione è dispari, e ha un grafico simmetrico rispetto all'origine. Se ruoti di 180° lo schermo con cui stai leggendo questo articolo, il grafico resta identico.
Figura 1. \(g(x)\) è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Le simmetrie sono importanti perché ti consentono di concentrarti solo su una parte del grafico della funzione: basta studiare \(x \geq 0\) e tutti i risultati per \(x < 0\) si ottengono per simmetria.
Periodicità
Se una funzione è definita in base a seni, coseni e tangenti, potrebbe essere periodica. In questo caso è sufficiente fissare un intervallo lungo quanto il periodo e studiare la funzione su questo intervallo: una volta fatto questo si "copia e incolla" il grafico ottenuto.
Studia le simmetrie e il periodo della funzione \(f(x) = \sin 2x + \cos x\).
Soluzione.
\(\sin 2x\) è una funzione dispari, mentre \(\cos x\) è pari: la somma delle due non è né pari né dispari. Puoi verificare sostituendo \(-x\) al posto di \(x\) nella legge della funzione: \[ f(-x) = \sin (-2x) + \cos (-x) = -\sin 2x + \cos x \] e come vedi non risulta né pari, né dispari.
La funzione \(\sin 2x\) è periodica di periodo \(\pi\); \(\cos x\) invece ha periodo \(2\pi\). Il risultato della somma, quindi, è periodico con il periodo maggiore tra i due: in questo caso è \(2 \pi\). Puoi limitarti a studiare la funzione nell'intervallo \([0, 2\pi]\).
Studio del segno di una funzione
Il passaggio successivo è lo studio del segno della funzione, che si fa risolvendo la disequazione \[f(x) \geq 0.\] Da qui otteniamo tre diversi risultati:
I punti in cui \(f(x)=0\), ovvero le intersezioni con l'asse \(x\): questi punti si chiamano zeri della funzione.
Gli intervalli in cui \(f(x) >0\): in questi intervalli il grafico della funzione si trova sopra l'asse \(x\), e quindi possiamo cancellare la parte di piano che si trova sotto l'asse.
Gli intervalli in cui \(f(x)<0\): in questo caso il grafico della funzione si trova sotto l'asse \(x\), e si può cancellare la parte di piano sopra l'asse.
Intersezione con gli assi
Un ulteriore passaggio che può essere chiesto negli esercizi è quello di trovare le intersezioni con gli assi \(x\) e \(y\) risolvendo i sistemi seguenti. \begin{align}&\text{Intersezione con l'asse } x: \begin{cases} y=0 \\ y=f(x) \end{cases} \\ &\text{Intersezione con l'asse } y: \begin{cases} x=0 \\ y=f(x) \end{cases} \end{align}
Le intersezioni con l'asse \(x\) coincidono con gli zeri della funzione: risolvere il sistema significa trovare dove \(f(x)=0\).
In generale, le intersezioni non esistono sempre: i sistemi potrebbero non avere soluzioni.
Le intersezioni con l'asse \(\mathbfit{x}\) possono essere più di una. Non esistono intersezioni se la funzione non si annulla mai, ad esempio per \(f(x)=e^x\).
L'intersezione con l'asse \(\mathbfit{y}\) è al più una. Se \(0\) fa parte del dominio della funzione, l'intersezione è nel punto \((0, f(0))\); se \(0\) non fa parte del dominio, come nel caso di \(f(x)=\ln(x)\), non c'è intersezione con l'asse \(y\).
Studia il segno e le intersezioni con gli assi della funzione \(f(x)= x^2-7x-8\).
Soluzione.
Devi studiare \(f(x) > 0\): è una disequazione di secondo grado, quindi devi risolvere l'equazione associata \(x^2-7x-8 =0\). Se scomponi come prodotto notevole, ottieni \[x^2-7x-8 =(x+1)(x-8)\] che dà le due soluzioni \[x_1=-1, \; x_2 =8. \] Queste sono i due zeri della funzione: \(f(-1)=f(8)=0\). A questo punto puoi risolvere la disequazione associata, considerando che \(y=x^2-7x-8\) è una parabola con i bracci rivolti verso l'alto: quindi \[f(x) > 0\text{ per } x<-1\text{ o } x >8\] Se ti serve un ripasso, leggi l'articolo sulle disequazioni di secondo grado!
A questo punto si possono esplicitare le intersezioni con gli assi.
Per l'asse \(x\) bisogna risolvere: \[\begin{cases} y=0 \\ y=x^2-7x-8 \end{cases} \] che porta a \[x^2-7x-8 =0\] ovvero all'equazione appena risolta. Le soluzioni \(-1, 8\) sono le \(x\) dei punti di intersezione: le \(y\) corrispondenti sono entrambe \(0\). Quindi le intersezioni sono nei punti \(A=(-1,0), B=(8,0)\).
Per l'asse \(y\) bisogna risolvere \[\begin{cases} x=0 \\y=x^2-7x-8 \end{cases}\] e basta semplicemente sostituire \(x=0\) nella funzione. Si ottiene \(y =0^2-7\cdot 0 -8 =-8\): il punto di intersezione con l'asse \(y\) quindi è \(C=(0,-8)\).
Conviene riportare queste informazioni sul grafico: segna i tre punti e cancella le parti di piano in cui il grafico della funzione non passa. In altre parole: dove \(f(x)>0\), tratteggia la parte di piano sotto l'asse \(x\), mentre dove \(f(x)<0\) tratteggia la parte di piano sopra l'asse, come vedi nel disegno.
Figura 4. Intersezioni con gli assi e segno della funzione \(f(x)\).
Comportamento agli estremi del dominio
"Comportamento" in questo caso significa che si calcolano i limiti: devi calcolare un limite per \(x\) che tende a ogni "confine" del dominio. Conviene ripassare i limiti notevoli e le forme indeterminate.
I limiti ti consentono anche di trovare eventuali asintoti della funzione: un asintoto è una retta a cui una funzione si avvicina senza toccarla mai. Puoi avere asintoti orizzontali o verticali.
La funzione \(f(x)\) ha un asintoto orizzontale se uno dei limiti per \(x \to \infty\) ha un valore finito: \[\lim_{x \to \infty f(x) =L \] In questo caso il grafico tenderà ad avvicinarsi alla retta \(y=L\) man mano che ti sposti a destra o a sinistra sull'asse \(x\).
La funzione \(f(x)\) ha un asintoto verticale se il limite in un certo punto \(x_0\) è infinito: \[\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty.\] In questo caso, il grafico della funzione salirà (o scenderà, se il limite è \(- \infty\)) avvicinandosi sempre di più alla retta \(x=x_0\).
Studia l'andamento agli estremi del dominio di \(f(x)= x^2+2\).
Soluzione.
In questo caso la funzione è un polinomio, quindi il dominio è \(\mathbb{R}\). I limiti da calcolare sono solo due: quelli per \(x \to + \infty\) e \(x \to - \infty\). Dato che è una funzione continua \[\lim_{x \to -infty} x^2+2 =+\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} x^2+2 =+\infty\]
Studia l'andamento agli estremi del dominio di \(h(x)=\dfrac{2}{x-2}\).
Soluzione.
Il dominio di questa funzione è \(\mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, + \infty)\).
Con la seconda notazione noti meglio che ci sono quattro confini: uno per ogni parentesi. Questo significa che dovrai calcolare quattro limiti!
Il primo è \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{-\infty}=0 .\] Poi hai un secondo confine a sinistra di due e uno a destra: se sostituisci \(2\) in
\[ \lim_{x \to 2} \frac{2}{x-2} \] noti che il denominatore tende a \(0\), quindi la funzione tenderà a infinito. Più o meno? Se ti avvicini a \(2\) da sinistra, \(x\) è più piccolo di \(2\), e quindi il denominatore è positivo: a sinistra, la funzione va a \(- \infty\). \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{2}{x-2} = - \infty\]
Se invece arrivi a \(2\) da destra, la \(x\) al denominatore sarà più grande di \(2\) e il risultato della sottrazione sarà positivo: la funzione va a \(+ \infty\).
\[ \lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x-2} = + \infty\]
L'ultimo limite è verso \(+ \infty\): qui la funzione va a \(0\). \[\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{+\infty}=0 \]
Derivata prima
Il passaggio successivo è studiare la derivata prima per trovare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente ed eventuali massimi o minimi. Per fare questo
Calcola la derivata \(f'(x)\).
Studia il segno della derivata: risolvi \(f'(x) > 0\).
Dove \(f'(x)> 0\) la funzione è crescente; dove \(f'(x)<0\) la funzione è decrescente.
I punti stazionari, ovvero quelli in cui \(f'(x)=0\), possono essere massimi o minimi. Per capire come classificarli, si può ragionare sull'andamento della funzione attorno al punto, oppure calcolare la derivata seconda.
Studia la derivata di \(g(x) = \dfrac{x^3-2x}{4}\).
Soluzione.
Questa funzione è un polinomio (al denominatore non ci sono \(x\)!). Conviene riscriverla in modo da esplicitare i coefficienti: \[g(x) = \frac{x^3-2x}{4} = \frac{3}{4}x^3-\frac{1}{2}x\]
Calcola la derivata.\[g'(x) = \frac{3}{4}\cdot 3x^2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{4}x^2 - \frac{1}{2}\]
Ora puoi studiare dove \(g'(x) > 0\): è una disequazione di secondo grado, quindi risolvi l'equazione associata.
\begin{align} \frac{9}{4}x^2 - \frac{1}{2} = 0 \\ x^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9} \\ x_{1,2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \end{align} Dato che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la disequazione è verificata negli intervalli esterni alle soluzioni. \[ g'(x) > 0 \text{ per } x \in \left( - \infty, -\frac{\sqrt{2}}{3} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{2}}{3} , + \infty\right)\] quindi in queste semirette la funzione è crescente. Quindi la funzione è decrescente per \[g'(x) < 0 \text{ per } x \in \left( -\frac{\sqrt{2}}{3}, + \frac{\sqrt{2}}{3} \right). \]
Derivata seconda
La derivata seconda si calcola per studiare la concavità della funzione. La funzione è concava quando la curva del grafico "fa la pancia" verso l'altro, come nel grafico di \(\ln x\) ed è convessa quando la curva "fa la pancia" verso il basso, come nel grafico di \(e^x\). Mentre logaritmo ed esponenziale a base \(e\) hanno lo stesso tipo di concavità su tutto il dominio, altre funzioni possono cambiarlo.
Un altro uso della derivata seconda è quello di classificare i punti stazionari.
Se \(f'(x_0)=0\) e \(f''(x_0) > 0\), il punto \(x_0\) è un minimo relativo.
Se \(f'(x_0)=0\) e \(f''(x_0) < 0\), il punto \(x_0\) è un massimo relativo.
Se \(f'(x_0)=0\) e \(f''(x_0) =0\), non si può dire nulla: il punto \(x_0\) potrebbe essere un massimo o un minimo, un flesso orizzontale, o nessuno di questi. Non sempre la matematica ha tutte le risposte pronte!
Studia la derivata seconda della funzione \(g(x) = \dfrac{x^3-2x}{4}\).
Soluzione.
Dall'esempio precedente hai già la derivata prima. \[g'(x) = \frac{9}{4}x^2 - \frac{1}{2}\] La derivata seconda quindi è \[g''(x) = \frac{9}{4}\cdot 2 x = \frac{9}{2}x.\] Lo studio del segno in questo caso è molto semplice: \(g''(x) > 0 \) per \(x > 0\). Quindi la funzione è
- convessa per \(x > 0\);
- concava per \(x < 0\).
Restano da classificare i punti stazionari visti all'esempio precedente:
\[ g''\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} =- \frac{3\sqrt{2}}{2} < 0\]
quindi \(-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) è un punto di massimo relativo.
\[ g''\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} =- \frac{3\sqrt{2}}{2} < 0\]
quindi \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) è un punto di minimo relativo.
Studio di funzione: esercizi
Per fare pratica sullo studio di funzione non ti resta che fare esercizi. Visto che l'obiettivo dell'esercizio è quello di arrivare a un grafico probabile della funzione, è una buona idea preparare uno schizzo dall'inizio e aggiornarlo mano a mano che svolgi i vari punti. In questo modo puoi mettere assieme i vari passaggi ed è più facile notare se hai fatto un errore.
Studia dominio, segno e derivata prima della funzione \[f(x) = \frac{e^{-x}}{\ln x} .\]
Soluzione.
Comincia dal dominio. La funzione è definita se:
- il denominatore è diverso da zero: \( \ln x \neq 0 \), quindi \(x \neq 1\).
- è definito il logaritmo, cioè se \( x > 0\).
Mettendo assieme le condizioni, il dominio è dato dai numeri positivi, eccetto \(1\). \[ D_f = (0, 1) \cup (1, + \infty)\]
Dato che il dominio è asimmetrico, non ha senso cercare simmetrie: la funzione non è né pari né dispari.
Ora studia il segno: dato che \(f\) è fratta, dovrai studiare separatamente numeratore e denominatore.
Il numeratore essendo un'esponenziale, è sempre positivo. \(e^{-x} > 0 \forall x \in D_f\)
Il denominatore invece è un logaritmo: \(\ln x > 0 \) per \(x > 1\).
Fai uno schema per indicare il segno del numeratore e denominatore, e moltiplicali per ottenere il segno della funzione.
Figura 5. Segno della funzione.
Dallo schema risulta che
\[f(x) > 0 \text{ per } x > 1, f(x) < 0 \text{ per } x < 1.\]
Figura 6. La funzione considerata è negativa in \((0,1)\) e positiva in \((1, +\infty)\).
Non c'è intersezione con l'asse \(y\), perché la funzione non è definita in \(x=0\). Un'intersezione con l'asse \(x\) si ha se la funzione risulta nulla: cioè se \[ \frac{e^{-x}}{\ln x} =0,\]che si ha solo se \[ e^{-x} = 0 \text { e } \ln x \neq 0\] Ma l'esponenziale non si annulla mai: quindi non c'è nemmeno intersezione con l'asse \(x\).
A questo punto bisogna studiare il comportameno agli estremi del dominio. Il primo estremo del dominio è \( 0\): dovrai calcolare un limite destro perché la funzione non esiste a sinistra.
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x}}{\ln x} \rightarrow \frac{1}{-\infty} =0 \]
Il secondo estremo è \(1\).
\[ \lim_{ x \to 1} \frac{e^{-x}}{\ln x} \] Se sostituisci \(1\) in quest'espressione hai un numero, \(e^{-1}\), diviso \(0\): quindi il limite è infinito. Per capire se è \(+ \infty\) o \(- \infty\) puoi guardare il segno della funzione: dato che a destra e a sinistra i segni sono diversi, avrai un limite destro diverso da quello sinistro. Per \(x < 1\) la funzione è negativa, quindi \[ \lim_{ x \to 1^-} \frac{e^{-x}}{\ln x} = - \infty\] mentre per \(x > 1\) è positiva, e quindi \[ \lim_{ x \to 1^+} \frac{e^{-x}}{\ln x} = +\infty . \] Questo ti dice che \(x=1\) è un asintoto verticale. L'ultimo limite è quello per \(x \to \infty\): \[ \lim_{ x \to + \infty} \frac{e^{-x}}{\ln x} = \frac{0}{ + \infty} = 0\] È risultato un valore finito: quindi la retta \(y=0\) è un asintoto orizzontale della funzione.
Puoi fare dei piccoli segni sul grafico per ricordarti i risultati dei limiti.
Figura 7. Su ogni estremo del dominio puoi aggiungere il corrispondente limite della funzione alla bozza di grafico.
A questo punto per completare il grafico puoi studiare la derivata, calcolandola con la formula per i quozienti.
\[f'(x) = \frac{-e^{-x}\ln x - e^{-x}\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{-e^{-x}\left(\ln x + \frac{1}{x}\right)}{\ln^2 x} \]
Per capire dove la funzione è crescente devi studiare \(f'(x) > 0\). Nella legge della funzione, \(-e^{-x}\) è sempre negativo, \(\ln^2 x\) sempre positivo: quindi la derivata risulta positiva se il termine tra parentesi è negativo (in questo modo i due segni - si cancellano).
\[f'(x) > 0 \text{ se e solo se } \ln x +\frac{1}{x} < 0. \]
Questa disequazione richiede qualche passaggio. \begin{align} \ln x +\frac{1}{x} < 0 \\ \frac{1}{x} < - \ln x \\ \frac{1}{x} < \ln x^{-1} \\ \frac{1}{x} < \ln \frac{1}{x} \end{align} Con un cambio di variabile, è come studiare se \(t < \ln t\): questa disequazione è sempre falsa! Per una spiegazione più precisa, controlla l'articolo sulle equazioni logaritmiche.
Quindi, dato che la derivata è
\[f'(x) = - \frac{e^{-x}\left(\ln x + \frac{1}{x}\right)}{\ln^2 x} \] e tutti i termini presenti nella frazione sono positivi, ne risulta che il segno è costante: \(f'(x) < 0\) su tutto il dominio, e quindi \(f(x)\) è sempre decrescente. Non ci sono massimi né minimi, nemmeno relativi, perché la derivata non si annulla mai.
A questo punto puoi fermarti. Tecnicamente è possibile calcolare la derivata seconda, ma il calcolo diventa piuttosto difficile. Disegna un grafico approssimativo collegando tra loro i trattini fatti per indicare i valori dei limiti: anche se non sai in modo preciso cosa fa la funzione, puoi indovinarne l'andamento. Nel disegno qui sotto vedi un grafico probabile: una qualunque delle linee tratteggiate è una buona alternativa.
Figura 8. Grafico probabile della funzione. Una qualsiasi delle linee tratteggiate è un'alternativa sufficientemente buona.t
Studia la funzione \(f(x) = x \sqrt{1-x^2}\).
Soluzione.
La funzione è definita per \(1-x^2 \geq 0\): questa disequazione è verificata per \(x \in [-1, 1]\). Questo intervallo, quindi, è il campo di esistenza della funzione: puoi eliminare tutto quello che si trova fuori.
Figura 9. Dominio della funzione \(x\sqrt{1-x^2}\).
Calcola \(f(-x)\) per verificare se ci sono simmetrie: \[ f(-x) = - x \sqrt{1-(-x)^2} = -x \sqrt{1-x^2} = -f(x)\] Si tratta di una funzione dispari: è sufficiente studiarla sulla parte positiva dell'intervallo. Certamente non è periodica.
Dato che il risultato della radice è sempre positivo, il segno di \(f(x)\) dipende interamente da \(x\). Si ha \(f(x) \geq 0\) per \(x > 0\) e \(f(x) \leq 0\) per \(x < 0\).
Figura 10. Schema per calcolare il segno della funzione \(x\sqrt{1-x^2}\).
Vediamo le intersezioni con gli assi, cominciando dall'asse \(x\). \[x \sqrt{1-x^2} =0\] si ha
- se \(x=0\), oppure
- se \(\sqrt{1-x^2}=0\), cioè se \(1-x^2=0\) ossia \(x^2=1\), quindi nei punti \(x_1=1\) e \(x_2 = -1\).
La risposta 1 ci dice che la funzione passa per \((0,0)\): l'origine è un punto di intersezione sia con l'asse \(x\) che con l'asse \(y\). La risposta 2 dà altre due intersezioni con l'asse \(x\) nei punti \((1,0)\) e \((-1,0)\). Riporta queste affermazioni sul grafico: segna gli zeri e cancella la parte che si trova sopra l'asse nell'intervallo \([-1,0]\) e quella sotto l'asse in \([0,1]\) come vedi in figura 11.
Figura 11. Sono evidenziati gli zeri della funzione e le aree del piano in cui passa il grafico.
Questo risponde implicitamente anche al comportamento agli estremi del dominio: dato che la funzione è continua, i limiti per \(x \to -1^- \) e \(x \to 1^+\) corrispondono ai valori della funzione in questi punti.
A questo punto restano da calcolare le derivate. Per calcolare la derivata prima ricorda le regole di derivazione del prodotto e della funzione composta.
\begin{align} \left( x\sqrt{1-x^2} \right)' & = (x)'\sqrt{1-x^2} + x\left( \sqrt{1-x^2} \right)' \\&= \sqrt{1-x^2}+x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \\&= \sqrt{1-x^2}- \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\& = \frac{ (\sqrt{1-x^2})^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\& = \frac{ 1-x^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\ & = \frac{ 1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\end{align}
Il denominatore di questa derivata è sempre positivo: quindi il segno della derivata dipende esclusivamente dal numeratore. La derivata è positiva se \[1-2x^2>0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}} .\] In questo intervallo, quindi, la funzione è crescente, mentre negli intervalli \( \left(-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) e \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1 \right)\) la derivata è negativa e quindi la funzione è decrescente. I due valori \(x_{1,2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) sono punti stazionari: la derivata qui si annulla. Rappresenta questi dati su un diagramma, indicando con una freccia verso l'alto la crescenza e con una freccia verso il basso la decrescenza.
Figura 12. Segno della derivata \(f'(x)\). Le frecce verso il basso indicano dove \(f(x)\) è decrescente, verso l'alto dove è crescente.
Questo permette di capire già che \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) è un punto di massimo: a sinistra la funzione è crescente e a destra decresce. In modo simile puoi dedurre che \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) è un punto di minimo. Calcolane i valori per indicare i punti sul grafico.
\begin{align}f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{1}{2}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \end{align} Questo valore è un massimo assoluto: la funzione non cresce ulteriormente, quindi non raggiunge mai valori maggiori. Allo stesso modo, il valore nel punto di minimo è un minimo assoluto. Dato che la funzione è dispari, \[ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=- f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)= -\frac{1}{2}.\] Per tracciare un grafico probabile puoi sfruttare anche il fatto che la derivata non è definita in \(-1\) e \(1\): il denominatore tende a zero, e quindi il limite della derivata tenderà a infinito. Questo significa che la funzione tenderà ad avere una tangente verticale in questi punti.
Figura 13. Massimo, minimo, e zeri della funzione consentono già di tracciare un grafico probabile.
A questo punto puoi calcolare la derivata seconda per trovare convessità e flessi. Con una funzione irrazionale puoi aspettarti una derivata seconda piuttosto complicata: a seconda del programma che svolgi a scuola potresti doverla calcolare oppure no. Se non devi calcolare la derivata seconda, l'esercizio finisce qui: puoi provare a tracciare un grafico che passi tra i cinque punti individuati.
\begin{align}f''(x) &= \frac{(1-2x^2)'(\sqrt{1-x^2})-(1-2x^2)(\sqrt{1-x^2})'}{\sqrt{1-x^2}^2} \\&= \frac{-4x\sqrt{1-x^2}- \frac{(1-2x^2)(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\&= \frac{\frac{-4x(\sqrt{1-x^2})^2+(1-2x^2)x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\&= \frac{-4x(1-x^2)+x-2x^3)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} \\&= \frac{-4x+4x^3+x-2x^3)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} \\&= \frac{2x^3-3x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{x(2x^2-3)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\end{align}
Per calcolare \(f''(x)>0\) conviene studiare separatamente i fattori che la compongono. In altre parole, dovrai studiare \[x>0, \; 2x^2-3> 0, \; 1-x^2> 0, \; \sqrt{1-x^2} >0\] e mettere assieme i risultati per trovare il segno della derivata seconda. Puoi notare che i fattori a denominatore sono entrambi positivi su tutto il dominio della funzione: ti basta studiare i fattori del numeratore.
Comincia da \(x >0\): è già praticamente risolto, ma vale la pena notare che questo fattore annulla la derivata seconda in \(x=0\): \(f''(0) =0\), qui hai un punto di flesso.
Devi risolvere \(2x^2-3> 0\): una disequazione di secondo grado, per cui risolvi l'equazione associata.
\[ 2x^2-3 =0 \text{ per } x^2=\frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\] Quindi hai \[2x^2-3> 0\text{ per } x < -\sqrt{\frac{3}{2}} \text{ o } x > \sqrt{\frac{3}{2}} .\] Ma questo insieme di soluzioni è fuori dal dominio della funzione \(f(x)\) che stai studiando! Di conseguenza, si ha \[2x^2-3 < 0 \text{ su tutto il dominio di } f(x).\] Rappresenta tutto su uno schema: una riga per ogni fattore della derivata seconda e i segni corrispondenti. Moltiplica i segni per trovare il segno della derivata seconda nei vari intervalli. Dove \(f''\) è positiva, segna la "pancia" verso il basso per indicare che la funzione è convessa; dove \(f''\) è negativa, segna la "pancia" verso l'alto.
Figura 13. Calcolo del segno della derivata seconda.
Adesso hai tutti i dati necessari per disegnare il grafico probabile della funzione! Sicuramente la curva sarà simile a quelle sopra, ma conoscendo le concavità della funzione potrai disegnarne meglio la curvatura.
Figura 14. Grafico probabile della funzione \(f(x)\).
Studio di funzione - Punti chiave
- L'obiettivo dello studio di funzione è arrivare a tracciare un grafico che descriva l'andamento generale della funzione e consenta di ricavarne le informazioni principali.
- La lista dei passaggi da eseguire in uno studio di funzione è la seguente
- Nel primo passaggio si calcola il dominio della funzione, applicando le condizioni di esistenza.
- Cercare simmetrie e periodicità consente di studiare la funzione in un insieme ridotto e poi ricavarne il comportamento su tutto il dominio.
- Studiando il segno della funzione ricavi gli intervalli in cui \(f(x) > 0\) e quelli in cui \(f(x) <0\). Inoltre trovi gli zeri, ovvero i punti in cui la funzione si annulla. Questi punti sono intersezioni con l'asse \(x\); possono essere più di uno o nessuno. L'intersezione con l'asse \(y\) è al massimo una e si trova nel punto \((0, f(0))\).
- Il passaggio successivo è trovare i limiti agli estremi del dominio.
- Lo studio della derivata permette di calcolare crescenza e decrescenza della funzione, massimi e minimi relativi.
- La derivata seconda può aiutare a classificare massimi e minimi e permette di studiare la concavità della funzione.
- Non sempre si riescono a fare tutti i passaggi per lo studio di funzione: a volte alcuni non sono richiesti, perché troppo lunghi o complicati per farli a mano. Leggi sempre attentamente le consegne degli esercizi!
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