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Cifre significative: definizione
Prima di comprendere cosa sono le cifre significative, dobbiamo introdurre il concetto di cifre certe e incerte. Questi concetti sono legati alla sensibilità di misura di uno strumento e variano quindi da strumento a strumento e da misura a misura. In generale, la cifra incerta è quella su cui cade l'incertezza di misura del nostro strumento.
Se con un righello con sensibilità di \(1\:mm\), misuriamo la quantità \(13,2\:cm\), possiamo dire che questo numero ha due cifre certe (\(1\) e \(3\)) e una cifra incerta (\(2\)), poiché è quella che dipende dalla sensibilità dello strumento: essendo \(0,1\:cm\) il limite di sensibilità dello strumento, la nostra misura potrebbe essere \(13,2\:cm\), oppure potrebbe essere \(13,3\:cm\) in base a come leggiamo il righello!
Ora che abbiamo introdotto il concetto di cifre certe e incerte, possiamo definire le cifre significative:
In una misura, le cifre significative sono tutte le cifre certe e la prima delle cifre incerte.
Se riprendiamo l'esempio di poco fa, la misura di \(13,2\:cm\) ha tre cifre significative, poiché ha due cifre certe e una cifra incerta!
Fig. 1 - Pigreco rappresentato con una precisione di 26 cifre significative.
Cifre significative: regole
Per capire quante cifre significative ha un certo numero esistono delle semplicissime regole. Come abbiamo visto, tutte le cifre certe e la prima cifra incerta fanno parte delle cifre significative, ma cosa succede nel caso nella nostra misura appaiano degli zeri?
Nel caso degli zeri, bisogna considerare se questi appaiono, prima, nel mezzo o dopo dei numeri diversi da zero della misura. Vediamo le due semplici regole che ci permettono di capire se uno zero è significativo o meno:
Se lo zero appare alla fine o in mezzo al numero, è significativo: \(12,0\) ha 3 cifre significative, \(108,3\) ha quattro cifre significative, \(20,08\) ha quattro cifre significative e così via.
Se lo zero appare all'inizio del numero, non è significativo: \(0,87\) ha 2 cifre significative, \(0,009\) ha una cifra significativa, \(0,0080\) ha due cifre significative e così via.
Ulteriore attenzione va fatta per le cifre significative dei numeri scritti in notazione scientifica. In questo caso, infatti, solo le cifre del coefficiente numerico devono essere considerate cifre significative: \(12\cdot 10^3\) ha due cifre significative, \(1,27 \cdot 10^9\) ha tre cifre significative e così via!
Cifre significative: operazioni
Quando facciamo operazioni con numeri con diverse cifre significative, in particolar modo quando lavoriamo con delle misure, bisogna fare attenzione a quante cifre significative prendiamo a fine conti. In particolar modo, è sempre buona misura tenere tutte le cifre fino alla fine dei conti e poi arrotondare il risultato al numero corretto di cifre significative.
In particolar modo, vediamo come comportarci con le varie operazioni.
Moltiplicazione (e divisione) di una misura per un numero
In questo caso, il risultato dell'operazione deve avere lo stesso numero di cifre significative della misura.
Se abbiamo la misura \(12\:kg\) e la dividiamo per \(3\), avremo \((12\:kg)/3=4,0\:kg\).
Se abbiamo la misura \(8,52\:s\) e la moltiplichiamo per \(7\), otteniamo \((8,52\:s)\:(7) = 59,64\:s\).
Moltiplicazione (e divisione) tra misure
Nel caso si abbiano più misure, il risultato della moltiplicazione o della divisione tra più misure avrà sempre lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa (ovvero quella con meno numeri decimali).
Se abbiamo le misure \(37,2\:m\) e \(12,37\:s\), il risultato della loro divisione sarà \((37,2\:km)/(12,37\:s)=3,00727=3,01\:km/s\). Come si può vedere, dopo aver fatto i conti abbiamo dovuto arrotondare il numero per arrivare alla quantità di cifre significative corretta.
Se abbiamo le misure \(14,7\:m\) e \(3\:m\), il risultato della loro moltiplicazione sarà \((14,7\:m)\:(3\:m)=44,1=4\cdot 10^1\:m\). In questo caso, per arrotondare il risultato a una cifra significativa abbiamo dovuto usare la notazione scientifica.
Addizione (e sottrazione) tra misure
Nel caso di più misure, per ottenere il risultato della loro somma (o della loro sottrazione), bisogna prima arrotondare tutte le misure di modo che l'ultima cifra significativa cada nello stesso posto della misura con l'incertezza più grande, poi le si somma normalmente.
Questo processo, che a parole sembra molto più complicato di quanto non sia, si capisce molto bene e semplicemente con un esempio pratico.
Pensiamo di avere quattro misure: \(4,7\:m\), \(12\:m\), \(3,14\:m\) e \(7,298\:m\) e di doverle sommare tra loro.
La misura con l'incertezza più grande è \(12\:m\), poiché la sua incertezza cade sul numero delle unità, quindi dovremo arrotondare tutte le misure alle unità!
\[4,7\:m\approx 5\:m\]
\[12\:m \approx 12\:m\]
\[3,14\:m \approx 3\:m\]
\[7,298\:m \approx 7\:m\]
Ora che tutte le misure sono arrotondate allo stesso modo possiamo sommarle tra di loro:
\[5\:m+12\:m+3\:m+7\:m = 27\:m\]
Cifre significative: esempi
Vediamo qualche esempio di calcolo di cifre significative
Quante cifre significative ha il numero \(1486,03\)?
Come abbiamo visto, i numeri diversi da \(0\) sono cinque, tuttavia, visto che lo \(0\) non si trova all'inizio del numero, anche quella è una cifra significativa, quindi \(1486,03\) ha sei cifre significative.
Quante cifre significative ha il numero \(0,002031\)?
In questo caso i numeri diversi da \(0\) sono tre, \(2\), \(3\) e \(1\). Bisogna capire se gli zeri sono significativi o meno. I primi tre zeri, sicuramente non lo sono, apparento all'inizio del numero, mentre lo zero tra \(2\) e \(3\), lo è. Possiamo quindi dire che il numero \(0,002031\) ha quattro cifre significative.
Pensiamo di avere due misure di una certa lunghezza e di doverle moltiplicare tra loro. La prima misura è di \(27,3\:m\), mentre la seconda è di \(21,85\:m\). Senza effettuare i calcoli, quante cifre significative avrà il risultato della moltiplicazione tra le due misure?
Abbiamo visto che nel caso di moltiplicazione tra misure con diversa precisione, il risultato avrà lo stesso numero della misura meno precisa, in questo caso, la misura meno precisa è \(27,3\:m\), quindi il risultato avrà 3 cifre significative.
Cifre significative - Punti chiave
- In una misura, le cifre significative sono tutte le cifre certe e la prima delle cifre incerte.
- Se lo zero appare alla fine o in mezzo al numero, è significativo .
- Se lo zero appare all'inizio del numero, non è significativo.
- Nel caso di numeri scritti in notazione scientifica, solo i numeri del coefficiente numerico possono essere cifre significative.
- Se moltiplichiamo o dividiamo una misura per un numero, il risultato avrà lo stesso numero di cifre significative della misura.
- Se moltiplichiamo o dividiamo due misure, il risultato avrà sempre lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa (ovvero quella con meno numeri decimali).
- Se si sommano o sottraggono tra di loro più misure, bisogna prima arrotondarle a quella meno precisa.
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Domande frequenti riguardo Cifre significative
Come calcolare le cifre significative di un numero?
Per calcolare le cifre significative di un numero bisogna capire quali sono le cifre certe e quelle incerte. Le cifre significative sono tutte le cifre certe e la prima cifra incerta.
Per gli zeri bisogna fare un po' di attenzione:
- Se lo zero appare alla fine o in mezzo al numero è una cifra significativa.
- Se lo zero appare all'inizio del numero, non è cifra significativa.
Cosa sono le cifre significative di una grandezza fisica?
In una misura, le cifre significative sono tutte le cifre certe e la prima delle cifre incerte.
Quante cifre significative bisogna mettere?
Il numero di cifre significative da mettere come risultato di un'operazione dipende dal tipo di operazione svolta e dalle misure che si hanno:
- Se moltiplichiamo o dividiamo una misura per un numero, il risultato avrà lo stesso numero di cifre significative della misura.
- Se moltiplichiamo o dividiamo due misure, il risultato avrà sempre lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa (ovvero quella con meno numeri decimali).
- Se si sommano o sottraggono tra di loro più misure, bisogna prima arrotondarle a quella meno precisa.
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