Vettori e forze

In fisica, si parla spesso di vettori, quantità vettoriali e operazioni con i vettori. Ma cosa sono i vettori? Come si rappresentano? Come possiamo sommare o sottrare vettori? Vediamolo insieme.

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Indice

    Vettori: definizione

    Vediamo subito una definizione geometrica dei vettori:

    Un vettore è un segmento orientato caratterizzato da:

    • Direzione: la direzione è definita dalla retta passante per gli estremi del segmento.
    • Verso: ovvero in quale verso è orientato il vettore - se da un punto \(\mathrm{A}\) a un punto \(\mathrm{B}\) o viceversa.
    • Modulo: la lunghezza del segmento orientato.

    Indichiamo un vettore con una freccetta sopra una lettera (ad esempio parliamo di vettore velocità \(\vec{v}\)), o sopra a due lettere maiuscole che indicano due punti dello spazio (ad esempio, parliamo di vettore \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) quando vogliamo indicare il vettore che va dal punto \(\mathrm{A}\) al punto \(\mathrm{B}\)).

    Differenza tra vettori e scalari

    Uno scalare è una grandezza che non ha direzione ed è indentificata da un numero accompagnato dalla relativa unità di misura. Ad esempio, la temperatura è identificata da un valore numerico misurato su una certa scala, ma non ha direzione. Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, l'energia, la lunghezza, il tempo e la distanza.

    Vettori Temperatura StudySmarterFig. 1 - La temperatura è una grandezza scalare.

    Un vettore, invece, è identificato da un numero che ne esprime l'intensità (o modulo), da una direzione e da un verso. Esempi di grandezze vettoriali sono la velocità, l'accelerazione, la quantità di moto, lo spostamento e la forza, compreso il peso.

    Una grandezza che è data dal prodotto tra una grandezza scalare e una grandezza vettoriale sarà anch'essa una grandezza vettoriale. Un esempio è la quantità di moto di un oggetto, perché è uguale a una grandezza scalare (la massa) moltiplicata per una grandezza vettoriale (la velocità).

    Vettori: rappresentazione

    Possiamo rappresentare i vettori con una freccia, come mostrato di in figura 2.

    Vettori Rappresentazione StudySmarter

    Fig. 2 - Rappresentazione di un vettore

    La lunghezza indica la magnitudine (o modulo), la coda è il punto iniziale di un vettore, il verso è indicato dalla punta della freccia e la direzione è la retta lungo cui si orienta il vettore. Direzione, verso e modulo possono specificare completamente e univocamente il vettore.

    Vettori applicati, vettori liberi e vettori equipollenti

    Ora che abbiamo capito cosa sono i vettori e come rappresentarli, possiamo dire cosa significa che un vettore è applicato, libero e quando due vettori sono equipollenti. Iniziamo da quest'ultima proprietà

    Due vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) si dicono equipollenti se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso.

    Quando parliamo di vettori liberi o applicati, invece, ci riferiamo al fatto che i nostri vettori possano o meno avere un punto di applicazione iniziale.

    Con vettore applicato si intende un vettore che è individuato da un punto di applicazione.

    Nel caso del vettore in figura 2, il punto di applicazione è il punto rosso indicato in figura.

    Con vettore libero (o semplicemente vettore) si intende l'insieme di tutti i vettori orientati equipollenti a un vettore applicato.

    In altre parole, un vettore libero è un vettore senza un punto di applicazione, ma che può essere usato per descrivere generalmente una serie di vettori equipollenti.

    Vettore nullo

    Il vettore nullo, indicato semplicemente dal numero \(0\) è un vettore con modulo uguale a zero.

    Versori

    Si dice versore un vettore di modulo uguale a \(1\). Questi vettori sono usati per indicare una direzione, come ad esempio nel caso degli assi di un sistema di riferimento.

    Addizione e sottrazione di vettori

    Vediamo ora come effettuare l'addizione e la sottrazione di vettori.

    Addizione di vettori

    È importante ricordare che il modulo del vettore somma non è dato dalla somma dei moduli di ciascun vettore! Dati due vettori \(\vec a \) e \( \vec b\) come quelli rappresentati in Figura 3, il vettore somma \( \vec a + \vec b \) può essere ottenuto utilizzando due metodi.

    Metodo punta-coda

    Il metodo punta-coda consiste nel traslare i vettori in modo che la coda dell'uno coincida con la punta dell'altro. Ad esempio, in Figura 3, il vettore \( \vec b\) in alto è stato spostato in modo che la sua coda coincida con la punta di \( \vec a\). Nello spostamento il vettore non deve cambiare direzione! La somma dei due vettori è rappresentata dal vettore che unisce la coda di \(\vec a\) con la punta di \(\vec b\) (Figura 3, freccia viola).

    Regola del parallelogramma

    La regola del parallelogramma costituisce un altro metodo per calcolare la somma dei vettori. Quando si utilizza questo metodo occorre traslare i vettori in modo che abbiano in comune l'origine. Per esempio, in Figura 3 il vettore \( \vec b\) in basso è stato traslato in modo da avere l'origine in comune con \( \vec a\). A partire dai vettori \( \vec a\) e \( \vec b\) così collocati, si costruisce il parallelogramma che ha per lati questi due vettori e gli altri due lati paralleli a essi. Il vettore somma è la diagonale del parallelogramma così formato.

    Vettori addizione vettori StudySmarterFig. 3 - Addizione di due vettori.

    Sottrazione di vettori

    Quando si effettua la sottrazione \( \vec a - \vec b \) occorre cambiare il verso del vettore \( \vec b\) mantenendone la stessa direzione e verso. In altre parole, occorre rappresentare il vettore \( - \vec b\), come mostrato in Figura 4. A questo punto si unisce la coda di \( - \vec b\) alla punta di \( \vec a\) e si applica il metodo punta-coda. In alternativa, si uniscono le due code e si applica la regola del parallelogramma.

    Vettori Sottrazione vettori StudySmarterFig. 4 - Sottrazione di vettori.

    Vettori - Punti chiave

    • Un vettore è un segmento orientato caratterizzato da direzione, verso e modulo.
    • Una grandezza scalare ha solo una grandezza, mentre una grandezza vettoriale ha una grandezza e una direzione.
    • Un vettore può essere rappresentato con una freccia.
    • Due vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) si dicono equipollenti se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso.
    • Con vettore applicato si intende un vettore che è individuato da un punto di applicazione.
    • Con vettore libero (o semplicemente vettore) si intende l'insieme di tutti i vettori orientati equipollenti a un vettore applicato.
    • Il vettore nullo, indicato semplicemente dal numero \(0\) è un vettore con modulo uguale a zero.
    • Si dice versore un vettore di modulo uguale a \(1\). Questi vettori sono usati per indicare una direzione, come ad esempio nel caso degli assi di un sistema di riferimento.
    • Per trovare graficamente la somma (o la differenza) tra vettori si possono usare il metodo punta-coda o la regola del parallelogramma.


    References

    1. Fig. 4 - Vector subtraction.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vector_subtraction.jpg) by Reventlov17 is licensed by CC0 1.0 (https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.en).
    2. Fig. 2: Vettore definizione.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vettore_definizione.jpg) by Marc Lagrange (https://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Marc_Lagrange) licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
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    Domande frequenti riguardo Vettori e forze

    Che cos'è un vettore?

    Un vettore è un segmento orientato caratterizzato da:

    • Direzione: la direzione è definita dalla retta passante per gli estremi del segmento.
    • Verso: ovvero in quale verso è orientato il vettore - se da un punto A a un punto B o viceversa.
    • Modulo: la lunghezza del segmento orientato.

    Quali sono le 3 caratteristiche dei vettori?

    Le tre caratteristiche dei vettori sono direzione, verso e modulo.

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