In fisica, si parla spesso di vettori, quantità vettoriali e operazioni con i vettori. Ma cosa sono i vettori? Come si rappresentano? Come possiamo sommare o sottrare vettori? Vediamolo insieme.

Vettori: definizione

Vediamo subito una definizione geometrica dei vettori:

Indichiamo un vettore con una freccetta sopra una lettera (ad esempio parliamo di vettore velocità \(\vec{v}\)), o sopra a due lettere maiuscole che indicano due punti dello spazio (ad esempio, parliamo di vettore \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) quando vogliamo indicare il vettore che va dal punto \(\mathrm{A}\) al punto \(\mathrm{B}\)).

Differenza tra vettori e scalari

Uno scalare è una grandezza che non ha direzione ed è indentificata da un numero accompagnato dalla relativa unità di misura. Ad esempio, la temperatura è identificata da un valore numerico misurato su una certa scala, ma non ha direzione. Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, l'energia, la lunghezza, il tempo e la distanza.

Fig. 1 - La temperatura è una grandezza scalare.

Un vettore, invece, è identificato da un numero che ne esprime l'intensità (o modulo), da una direzione e da un verso. Esempi di grandezze vettoriali sono la velocità, l'accelerazione, la quantità di moto, lo spostamento e la forza, compreso il peso.

Una grandezza che è data dal prodotto tra una grandezza scalare e una grandezza vettoriale sarà anch'essa una grandezza vettoriale. Un esempio è la quantità di moto di un oggetto, perché è uguale a una grandezza scalare (la massa) moltiplicata per una grandezza vettoriale (la velocità).

Vettori: rappresentazione

Possiamo rappresentare i vettori con una freccia, come mostrato di in figura 2.

La lunghezza indica la magnitudine (o modulo), la coda è il punto iniziale di un vettore, il verso è indicato dalla punta della freccia e la direzione è la retta lungo cui si orienta il vettore. Direzione, verso e modulo possono specificare completamente e univocamente il vettore.

Vettori applicati, vettori liberi e vettori equipollenti

Ora che abbiamo capito cosa sono i vettori e come rappresentarli, possiamo dire cosa significa che un vettore è applicato, libero e quando due vettori sono equipollenti. Iniziamo da quest'ultima proprietà

Quando parliamo di vettori liberi o applicati, invece, ci riferiamo al fatto che i nostri vettori possano o meno avere un punto di applicazione iniziale.

Nel caso del vettore in figura 2, il punto di applicazione è il punto rosso indicato in figura.

In altre parole, un vettore libero è un vettore senza un punto di applicazione, ma che può essere usato per descrivere generalmente una serie di vettori equipollenti.

Vettore nullo

Versori

Addizione e sottrazione di vettori

Vediamo ora come effettuare l'addizione e la sottrazione di vettori.

Addizione di vettori

È importante ricordare che il modulo del vettore somma non è dato dalla somma dei moduli di ciascun vettore! Dati due vettori \(\vec a \) e \( \vec b\) come quelli rappresentati in Figura 3, il vettore somma \( \vec a + \vec b \) può essere ottenuto utilizzando due metodi.

Metodo punta-coda

Il metodo punta-coda consiste nel traslare i vettori in modo che la coda dell'uno coincida con la punta dell'altro. Ad esempio, in Figura 3, il vettore \( \vec b\) in alto è stato spostato in modo che la sua coda coincida con la punta di \( \vec a\). Nello spostamento il vettore non deve cambiare direzione! La somma dei due vettori è rappresentata dal vettore che unisce la coda di \(\vec a\) con la punta di \(\vec b\) (Figura 3, freccia viola).

Regola del parallelogramma

La regola del parallelogramma costituisce un altro metodo per calcolare la somma dei vettori. Quando si utilizza questo metodo occorre traslare i vettori in modo che abbiano in comune l'origine. Per esempio, in Figura 3 il vettore \( \vec b\) in basso è stato traslato in modo da avere l'origine in comune con \( \vec a\). A partire dai vettori \( \vec a\) e \( \vec b\) così collocati, si costruisce il parallelogramma che ha per lati questi due vettori e gli altri due lati paralleli a essi. Il vettore somma è la diagonale del parallelogramma così formato.

Fig. 3 - Addizione di due vettori.

Sottrazione di vettori

Quando si effettua la sottrazione \( \vec a - \vec b \) occorre cambiare il verso del vettore \( \vec b\) mantenendone la stessa direzione e verso. In altre parole, occorre rappresentare il vettore \( - \vec b\), come mostrato in Figura 4. A questo punto si unisce la coda di \( - \vec b\) alla punta di \( \vec a\) e si applica il metodo punta-coda. In alternativa, si uniscono le due code e si applica la regola del parallelogramma.

Fig. 4 - Sottrazione di vettori.