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Prodotto scalare e vettoriale

Prodotto scalare e vettoriale

Abbiamo visto cosa sono i vettori e come usarli, tuttavia, questi oggetti hanno un significato solo se possiamo svolgerci delle operazioni matematiche. La somma e la sottrazione dei vettori abbiamo visto essere molto semplice, ma per la moltiplicazione, invece? Dobbiamo distinguere tra prodotto scalare e prodotto vettoriale. Vediamo insieme cosa sono e come possiamo usarli per risolvere gli esercizi!

Prodotto scalare e vettoriale: componenti di un vettore

Prima di introdurre il prodotto scalare e quello vettoriale, dobbiamo introdurre il concetto di componenti di un vettore. Formalmente, le componenti di un vettore sono le proiezioni del vettore sugli assi del sistema di riferimento usato. Ma cosa vuol dire questa cosa? Vediamo un esempio molto semplice.

Pensiamo di essere in una stanza e di voler descrivere un oggetto che si trova ad una certa distanza da noi.

Possiamo pensare di definire un sistema cartesiano di cui noi siamo il centro e in cui abbiamo tre direzioni: la direzione destra-sinistra (in cui prenderemo la destra come verso positivo), la direzione avanti-indietro (in cui prenderemo avanti come verso positivo) e la direzione alto-basso (in cui prendiamo l'alto come verso positivo).

Sfruttando questo sistema possiamo descrivere completamente la posizione di un oggetto con una terna di numeri, ovvero con un vettore! Se, ad esempio, nella stanza è presente una scatola 1 metro alla nostra sinistra, 2 metri davanti a noi e alla nostra stessa altezza, possiamo descrivere la posizione della scatola con il vettore \((-1,2,0)\). È importante notare il segno \(-\) davanti alla coordinata che descrive la posizione "destra-sinistra", perché abbiamo definito che le nostre coordinate sono positive quando l'oggetto si trova alla nostra destra!

Se riprendiamo l'esempio che abbiamo appena visto, diremo che il vettore che descrive la posizione della scatola ha componenti \(-1\), \(2\) e \(0\).

Di solito, quando facciamo esercizi o risolviamo problemi con i vettori, possiamo assumere sempre di lavorare in un sistema di riferimento a coordinate cartesiane. Il sistema cartesiano ha il vantaggio di essere estremamente intuitivo, perché le coordinate \(x, y, z\) corrispondono al concetto quotidiano di destra-sinistra, avanti-dietro e in alto-in basso.

Prodotto scalare e vettoriale Sistema Cartesiano StudySmarterFig. 1 - Sistema di riferimento cartesiano

Prodotto scalare: definizione

Il prodotto scalare è un'operazione che associa a due vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) un numero. In particolare, il numero che risulta dall'operazione di prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti omonime dei vettori.

Questo significa che presi i due vettori \(\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)\) e \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), il prodotto scalare tra i due vettori sarà

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z\, .\]

Alternativamente, il prodotto scalare si può scrivere come il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo \(\theta\) compreso tra di loro:

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \|u\| \, \|v\| \, \cos\theta\,.\]

In questo articolo vedremo solo il prodotto scalare canonico con vettori di \(\mathbb{R}^3\), ovvero di vettori a valori reali nello spazio cartesiano formato da \((x, y,z)\). Le definizioni si possono estendere anche a casi a più dimensioni, semplicemente aggiungendo componenti!

Il simbolo di prodotto scalare tra due vettori è indicato con un pallino centrale tra i due vettori "\(\cdot\)".

Prodotto scalare: proprietà

Il prodotto scalare ha alcune proprietà che possono tornare comode durante gli esercizi:

  1. Proprietà commutativa: \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot\vec{u}\,.\]
  2. Omogeneità: \[(\lambda \vec{u})\cdot \vec{v} = \lambda (\vec{u}\cdot\vec{v}) = \vec{u}\cdot (\lambda \vec{v})\, ,\] dove \(\lambda\) è un numero reale.
  3. Proprietà distributiva rispetto alla somma:\[(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w}\,,\]\[\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\,.\]
  4. Se \(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\) sono i versori del sistema di riferimento che consideriamo, possiamo dire che il prodotto scalare tra versori diversi vale \(0\) perché sono perpendicolari tra loro, mentre tra versori uguali, vale \(1\).\[\hat{x}\cdot\hat{y}=\hat{y}\cdot\hat{z}=\hat{z}\cdot\hat{x}= 0\,,\]\[\hat{x}\cdot\hat{x}=\hat{y}\cdot\hat{y}=\hat{z}\cdot\hat{z}=1\,.\]
  5. Il prodotto scalare è nullo se i due vettori sono perpendicolari: \[\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\,.\]

Prodotto vettoriale: definizione

Contrariamente al prodotto scalare, il prodotto vettoriale associa a due vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) un terzo vettore \(\vec{w}\).

In particolare, il modulo del vettore risultante è dato da

\[\|\vec{w}\|=\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\, \|\vec{v}\| \sin\theta\, ,\]

dove \(\theta\) è l'angolo compreso tra i due vettori.

Per capire la direzione e il verso del vettore, possiamo usare la regola della mano destra, si mette il pollice della mano destra nella direzione e nel verso di \(\vec{u}\), l'indice nella direzione e nel verso di \(\vec{v}\) e se si estende il dito medio perpendicolarmente al palmo della mano, si ottengono la direzione e il verso del vettore risultante \(\vec{w}\).

Ma se ci interessassero le componenti del vettore? Non lo dimostriamo, ma si può vedere che il vettore risultante ha componenti \((u_yv_z-u_zv_y , u_zv_x-u_xv_z, u_xv_y-u_yv_x) \).

Vediamo come si possiamo ricavare le componenti in questo approfondimento:

Un modo per ricavare le componenti del vettore risultante dal prodotto vettoriale di altri due vettori si può usare un piccolo "trucchetto": possiamo costruire una matrice con i versori del sistema di riferimento e i due vettori di cui vogliamo eseguire il prodotto vettoriale, il determinante di questa matrice ci darà le componenti del vettore risultante.

\[\vec{u}\times\vec{v} = \text{det}\begin{bmatrix}\hat{x} &\hat{y} &\hat{z}\\u_x & u_y & u_z\\v_x & v_y & v_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_yv_z-u_zv_y \\u_zv_x-u_xv_z \\u_xv_y-u_yv_x\end{bmatrix}=\]

\[=(u_yv_z-u_zv_y)\hat{x}+(u_zv_x-u_xv_z)\hat{y}+(u_xv_y-u_yv_x)\hat{z}\]

Il vettore risultante avrà quindi componenti \((u_yv_z-u_zv_y , u_zv_x-u_xv_z, u_xv_y-u_yv_x) \), come visto poco fa!

Prodotto vettoriale: proprietà

Anche il prodotto vettoriale ha delle proprietà interessanti che possono essere utili nella risoluzione di esercizi e problemi.

  1. Proprietà distributiva rispetto alla somma: \[\vec{u} \times (\vec{v}+\vec{w}) =\vec{u}\times\vec{v} + \vec{u}\times\vec{w}\,,\]\[(\vec{u}+\vec{v})\times\vec{w}=\vec{u}\times\vec{w}+\vec{v}\times\vec{w}\,.\]
  2. Bilinearità: \[\lambda\vec{u} \times\vec{v}=\lambda(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{u}\times\lambda \vec{v}\,,\] dove \(\lambda\) è un numero reale.
  3. Proprietà anticommutativa: \[\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}\,.\]
  4. Se due vettori sono paralleli, il risultato del prodotto vettoriale è il vettore nullo: \[\vec{u} \parallel \vec{v} \iff\vec{u}\times\vec{v} = 0\,.\]

Prodotto scalare e prodotto vettoriale - Punti chiave

  • Le componenti di un vettore sono le sue proiezioni sugli assi del sistema di riferimento.
  • Il prodotto scalare è un'operazione che associa a due vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) un numero, si può anche vedere che il prodotto scalare può essere scritto come \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|u\| \, \|v\| \, \cos\theta\).
  • Il numero che risulta dall'operazione di prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti omonime dei vettori: \(\vec{u}\cdot\vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \).
  • Contrariamente al prodotto scalare, il prodotto vettoriale associa a due vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) un terzo vettore \(\vec{w}\).
  • Il modulo del vettore risultante è dato da\(\|\vec{w}\|=\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\, \|\vec{v}\| \sin\theta\), dove \(\theta\) è l'angolo compreso tra i due vettori.
  • Per capire la direzione e il verso del vettore, possiamo usare la regola della mano destra, si mette il pollice della mano destra nella direzione e nel verso di \(\vec{u}\), l'indice nella direzione e nel verso di \(\vec{v}\) e se si estende il dito medio perpendicolarmente al palmo della mano, si ottengono la direzione e il verso del vettore risultante \(\vec{w}\).
  • Il vettore risultante dal prodotto vettoriale dei vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) ha componenti \((u_yv_z-u_zv_y , u_zv_x-u_xv_z, u_xv_y-u_yv_x) \).

References

  1. Fig. 1 - Cartesian coordinates.png (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cartesian_coordinates.png) by Sommacal alfonso is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)

Domande frequenti riguardo Prodotto scalare e vettoriale

Il prodotto scalare tra due vettori si calcola sommando i prodotti delle componenti omonime dei vettori, ovvero, se abbiamo due vettori, u e v, di componenti (ux, uy, uz) e (vx, vy, vz), il loro prodotto scalare sarà dato da u · v = uxvx + uyvy + uzvz.

Per prodotto scalare si intende un'operazione matematica che associa a due vettori u e v un numero reale.

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