Prodotto scalare e vettoriale

Prodotto scalare: definizione

Il prodotto scalare è un'operazione che associa a due vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) un numero. In particolare, il numero che risulta dall'operazione di prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti omonime dei vettori.

Questo significa che presi i due vettori \(\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)\) e \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), il prodotto scalare tra i due vettori sarà

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z\, .\]

Alternativamente, il prodotto scalare si può scrivere come il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo \(\theta\) compreso tra di loro:

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \|u\| \, \|v\| \, \cos\theta\,.\]

In questo articolo vedremo solo il prodotto scalare canonico con vettori di \(\mathbb{R}^3\), ovvero di vettori a valori reali nello spazio cartesiano formato da \((x, y,z)\). Le definizioni si possono estendere anche a casi a più dimensioni, semplicemente aggiungendo componenti!

Il simbolo di prodotto scalare tra due vettori è indicato con un pallino centrale tra i due vettori "\(\cdot\)".

Prodotto scalare: proprietà

Il prodotto scalare ha alcune proprietà che possono tornare comode durante gli esercizi:

1. Proprietà commutativa: \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot\vec{u}\,.\]
2. Omogeneità: \[(\lambda \vec{u})\cdot \vec{v} = \lambda (\vec{u}\cdot\vec{v}) = \vec{u}\cdot (\lambda \vec{v})\, ,\] dove \(\lambda\) è un numero reale.
3. Proprietà distributiva rispetto alla somma:\[(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w}\,,\]\[\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\,.\]
4. Se \(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\) sono i versori del sistema di riferimento che consideriamo, possiamo dire che il prodotto scalare tra versori diversi vale \(0\) perché sono perpendicolari tra loro, mentre tra versori uguali, vale \(1\).\[\hat{x}\cdot\hat{y}=\hat{y}\cdot\hat{z}=\hat{z}\cdot\hat{x}= 0\,,\]\[\hat{x}\cdot\hat{x}=\hat{y}\cdot\hat{y}=\hat{z}\cdot\hat{z}=1\,.\]
5. Il prodotto scalare è nullo se i due vettori sono perpendicolari: \[\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\,.\]

Prodotto vettoriale: definizione

Contrariamente al prodotto scalare, il prodotto vettoriale associa a due vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) un terzo vettore \(\vec{w}\).

In particolare, il modulo del vettore risultante è dato da

\[\|\vec{w}\|=\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\, \|\vec{v}\| \sin\theta\, ,\]

dove \(\theta\) è l'angolo compreso tra i due vettori.

Per capire la direzione e il verso del vettore, possiamo usare la regola della mano destra, si mette il pollice della mano destra nella direzione e nel verso di \(\vec{u}\), l'indice nella direzione e nel verso di \(\vec{v}\) e se si estende il dito medio perpendicolarmente al palmo della mano, si ottengono la direzione e il verso del vettore risultante \(\vec{w}\).

Ma se ci interessassero le componenti del vettore? Non lo dimostriamo, ma si può vedere che il vettore risultante ha componenti \((u_yv_z-u_zv_y , u_zv_x-u_xv_z, u_xv_y-u_yv_x) \).

Vediamo come si possiamo ricavare le componenti in questo approfondimento:

Prodotto vettoriale: proprietà

Anche il prodotto vettoriale ha delle proprietà interessanti che possono essere utili nella risoluzione di esercizi e problemi.

1. Proprietà distributiva rispetto alla somma: \[\vec{u} \times (\vec{v}+\vec{w}) =\vec{u}\times\vec{v} + \vec{u}\times\vec{w}\,,\]\[(\vec{u}+\vec{v})\times\vec{w}=\vec{u}\times\vec{w}+\vec{v}\times\vec{w}\,.\]
2. Bilinearità: \[\lambda\vec{u} \times\vec{v}=\lambda(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{u}\times\lambda \vec{v}\,,\] dove \(\lambda\) è un numero reale.
3. Proprietà anticommutativa: \[\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}\,.\]
4. Se due vettori sono paralleli, il risultato del prodotto vettoriale è il vettore nullo: \[\vec{u} \parallel \vec{v} \iff\vec{u}\times\vec{v} = 0\,.\]