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Le cause degli errori possono essere gli strumenti utilizzati, le persone che leggono i valori o il sistema di misurazione.
Se, ad esempio, un termometro con una scala errata registra un grado in più ogni volta che lo usiamo per misurare la temperatura, otterremo sempre una misurazione sbagliata di un grado.
A causa della differenza tra il valore reale e quello misurato, le nostre misure saranno caratterizzate da un certo grado di incertezza. Pertanto, quando misuriamo un oggetto di cui non conosciamo il valore reale lavorando con uno strumento che produce errori, il valore reale esiste in un "intervallo di incertezza".
Differenza tra incertezza ed errore
La differenza principale tra errori e incertezze è che l'errore è la differenza tra il valore reale e il valore misurato, mentre l'incertezza è una stima dell'intervallo tra i due, che rappresenta l'affidabilità della misura. In questo caso, l'incertezza assoluta sarà la differenza tra il valore maggiore e quello minore.
Un esempio semplice è il valore di una costante. Supponiamo di misurare la resistenza di un materiale. I valori misurati non saranno mai uguali perché le misure di resistenza variano. Sappiamo che esiste un valore accettato di \(3,4\: \Omega\) e, misurando la resistenza due volte, otteniamo i risultati di \(3,35\:\Omega\) e \(3,41\:\Omega\).
Gli errori hanno prodotto i valori di \(3,35\) e \(3,41\), mentre l'intervallo tra \(3,35\) e \(3,41\) rappresenta l'intervallo di incertezza.
Facciamo un altro esempio, in questo caso la misurazione della costante gravitazionale locale in laboratorio.
L'accelerazione di gravità standard è \(9,81\:m/s^2\). In laboratorio, conducendo alcuni esperimenti con un pendolo, otteniamo quattro valori per g: \(9,76\:m/s^2\), \(9,6\:m/s^2\), \(9,89\:m/s^2\) e \(9,9\:m/s^2\). La variazione dei valori è il prodotto degli errori. Il valore medio è \(9,78\:m/s^2\).
L'intervallo di incertezza per le misure va da \(9,6 \:m/s^2\) a \(9,9\:m/s^2\) mentre l'incertezza assoluta è approssimativamente pari alla metà del nostro intervallo, che è uguale alla differenza tra i valori massimi e minimi divisa per due.
\[\frac{9,9 \: m/s^2 - 9,6\:m/s^2}{2} = 0,15\:m/s^2\]
L'incertezza assoluta è riportata come:
\[Valore\: medio \pm incertezza\]
In questo caso, sarà:
\[(9,78 \pm 0,15)\:m/s^2\]
Cos’è l’errore standard?
L’errore standard è il valore che ci dice quanto errore è presente nelle nostre misure rispetto al valor medio. Per calcolarlo bisogna eseguire i seguenti passaggi:
Calcolare la media delle misure.
Sottrarre la media da ogni misura ed elevare al quadrato il risultato.
Sommare tutti i valori ottenuti.
Dividere il risultato per la radice quadrata del numero totale di misure.
Vediamo un esempio.
Hai misurato il peso di un oggetto per quattro volte. Si sa che l'oggetto pesa esattamente \(3,0\: kg\) con una precisione inferiore a un grammo. Le quattro misurazioni hanno dato \(3,001 \:kg\), \(2,997\: kg\), \(3,003 \:kg\) e \(3,002\: kg\). Ottenere l'errore standard.
Prima di tutto, calcola la media:
\[\frac{3,001\:kg+2,997\:kg+3,003\:kg+3,002\:kg}{4}\]
Poiché le misure hanno solo tre cifre significative dopo la virgola, consideriamo il valore di \(3,000\: kg\). Ora bisogna sottrarre la media da ciascun valore e elevare al quadrato il risultato:
\[(3,001\:kg-3,000\:kg)^2=0,000001\:kg\]
Anche in questo caso, il valore è così piccolo e stiamo prendendo solo tre cifre significative dopo la virgola, quindi consideriamo il primo valore come 0. Ora procediamo con le altre differenze:
\[ \begin{gather} (3,002\:kg - 3,000\:kg)^2 = 0,000004\:kg\\(2,997\:kg-3,000\:kg)^2=0,000009\:kg\\(3,003\:kg-3,000\:kg)^2 = 0,000009\:kg \end{gather}\]
Tutti i risultati sono pari a 0, in quanto si considerano solo tre cifre significative dopo la virgola. Quando dividiamo questo risultato per la radice quadrata dei campioni, che è \(\sqrt{4}\), otteniamo:
\[Errore\:standard=0/2=0\]
In questo caso, l'errore standard (\(\sigma x\)) è quasi nullo.
Cosa sono calibrazione e tolleranza?
La tolleranza è l'intervallo tra i valori massimi e minimi accettabili per una misura.
La calibrazione è il processo di messa a punto di uno strumento di misura in modo che tutte le misure rientrino nell'intervallo di tolleranza.
Per calibrare uno strumento, i suoi risultati vengono confrontati con altri strumenti di maggiore precisione e accuratezza o con un oggetto il cui valore ha una precisione molto elevata.
Un esempio è la taratura di una bilancia.
Per calibrare una bilancia, è necessario misurare un peso di cui si conosce il valore approssimativo. Supponiamo di utilizzare una massa di un chilogrammo con un possibile errore di 1 grammo.
La tolleranza è compresa tra \(1,002\: kg\) e \(0,998\: kg\). La bilancia dà costantemente una misura di \(1,010\: kg\). Il peso misurato è superiore al valore noto di almeno 9 grammi e anche all'intervallo di tolleranza di almeno 8 grammi. La bilancia non supera il test di calibrazione se si desidera misurare i pesi con elevata precisione.
Come viene riportata l'incertezza?
Quando si effettuano delle misure, l’incertezza va riportata. Questo aiuta chi consulta i risultati a conoscere qual è la potenziale variazione nelle misure. A tal fine, dopo il simbolo ± si aggiunge l'intervallo di incertezza.
Supponiamo di misurare un valore di resistenza di 4,5 ohm con un'incertezza di \(0,1\:\Omega\). Il valore riportato con la sua incertezza è \((4,5\pm 0,1) \:\Omega\).
Troviamo valori di incertezza in molti processi, dalla fabbricazione alla progettazione, dall'architettura alla meccanica e alla medicina.
Cosa sono gli errori assoluti e relativi?
Gli errori nelle misurazioni sono assoluti o relativi. Gli errori assoluti descrivono la differenza rispetto al valore atteso. Gli errori relativi misurano il rapporto tra l'errore assoluto e il valore reale.
Errori assoluti
L'errore assoluto è la differenza tra il valore atteso e quello misurato. Se effettuiamo diverse misurazioni di un valore, otterremo diversi errori. Un esempio semplice è la misurazione della velocità di un oggetto.
Supponiamo di sapere che una palla che si muove sul pavimento abbia una velocità di \(1,4\: m/s\). Misuriamo la velocità calcolando il tempo impiegato dalla palla per spostarsi da un punto all'altro con un cronometro, ottenendo così un risultato di \(1,42\: m/s\).
L'errore assoluto della vostra misurazione è 1,42 meno 1,4.
\[Errore\:assoluto=1,42\:m/s-1,4\:m/s=0,02\:m/s\]
Errori relativi
L'errore relativo è il rapporto tra l’errore assoluto e il valore reale. Ci dà un’idea di quanto grande sia l’errore assoluto rispetto al valore atteso della misura. Facciamo un esempio di errore relativo e vediamo come è rispetto all’errore assoluto.
Con un cronometro si vuole misurare la velocità di una palla che rotola sul pavimento con una velocità nota di \(1,4\: m/s\). Il risultato della misura, una volta divisa la distanza per il tempo, dice che la palla si muove a \(1,42\: m/s\). Vediamo come sono in proporzione l’errore assoluto e quello relativo:
\[ Errore \: assoluto = 0,02 \: m/s \] \[Errore \: relativo = \frac{| 1,4 \:m/s - 1,42\: m/s |}{1,4\: m/s} = 0,014\]
Come si può notare, l'errore assoluto ci dice quanto è l’errore della misura, ma non ci dà alcuna informazione su quanto questo errore sia grande rispetto alla quantità che vogliamo misurare. L’errore relativo, invece, ci dice di quando la nostra misura si discosta dal valore atteso in percentuale.
Un altro esempio è la differenza di scala in un’immagine satellitare. Se l’errore assoluto della scala ha un valore di 10 metri, si tratta di un valore elevato a scala umana. Tuttavia, se l’immagine misura 10 chilometri di altezza per 10 chilometri di larghezza, un errore di 10 metri è molto piccolo.
L'errore relativo può anche essere riportato in percentuale dopo aver moltiplicato per 100 e aggiunto il simbolo percentuale %.
Grafico delle incertezze e degli errori
Le incertezze sono rappresentate sotto forma di barre nei grafici. Le barre si estendono dal valore misurato al valore massimo e minimo possibile. L'intervallo tra il valore massimo e quello minimo è l'intervallo di incertezza. Si veda il seguente esempio di barre di incertezza:
Grafico che mostra il valore medio di ciascuna misura. Le barre che si estendono da ciascun punto indicano di quanto i dati possono variare.
Si veda l'esempio seguente che utilizza diverse misure:
Stai effettuando quattro misurazioni della velocità di una palla che si muove per 10 metri e la cui velocità diminuisce man mano che avanza. Segni delle divisioni di 1 metro e utilizzi un cronometro per misurare il tempo impiegato dalla palla per spostarsi tra di esse.
Sai che la tua reazione al cronometro è di circa \(0,2\: m/s\). Misurando il tempo con il cronometro e dividendo per la distanza, si ottengono valori pari a \(1,40\: m/s\), \(1,22\:m/s\), \(1,15 \:m/s\) e \(1,01\: m/s\).
Poiché la reazione al cronometro produce un'incertezza di 0,2 m/s, i risultati sono \((1,40 \pm 0,2)\: m/s\), \((1,22 \pm 0,2)\: m/s\),\( (1,15 \pm 0,2)\: m/s\) e \((1,01 ± 0,2)\: m/s\).
Il grafico dei risultati può essere riportato come segue:
Il grafico mostra una rappresentazione approssimativa. I punti rappresentano i valori misurati di \(1,40\:m/s\), \(1,22\:m/s\), \(1,15\:m/s\), and \(1,01\:m/s\(. Le barre rappresentano le incertezze di \(\pm0.2\:m/s\).
Propagazione di errori e incertezze
Ogni misura presenta errori e incertezze. Quando eseguiamo operazioni con valori ricavati da misurazioni, queste incertezze si propagano in ogni calcolo. I processi attraverso i quali le incertezze e gli errori modificano i nostri calcoli sono chiamati propagazione dell'incertezza e propagazione dell'errore e producono una deviazione dai dati reali.
In questo caso esistono due approcci:
Se utilizziamo l'errore percentuale, dobbiamo calcolare l'errore percentuale di ciascun valore utilizzato nei nostri calcoli e poi sommarli.
Se vogliamo sapere come si propagano le incertezze nei calcoli, dobbiamo eseguire i calcoli utilizzando i valori con e senza incertezze.
La differenza è la propagazione dell'incertezza nei nostri risultati.
Vediamo i seguenti esempi.
Supponiamo di misurare l'accelerazione di gravità come \(9,91\:m/s^2\) e di sapere che il valore ha un'incertezza di \(\pm 0,1 \:m/s^2\).
Si vuole calcolare la forza prodotta da un oggetto in caduta. L'oggetto ha una massa di \(2\: kg\) con un'incertezza di 1 grammo ovvero \(2 ± 0,001\: kg\).
Per calcolare la propagazione utilizzando l'errore percentuale, dobbiamo calcolare l'errore delle misure. Calcoliamo l'errore relativo per \(9,91 \:m/s^2\) con una deviazione di \(0,1 \:m/s^2\)
\[Errore\:relativo = \frac{9,81\:m/s^2 - 9,91 \:m/s^2}{9,81\:m/s^2}=0,01\]
Moltiplicando per 100 e aggiungendo il simbolo della percentuale, otteniamo l'1%. Calcoliamo l'errore percentuale anche per la massa da 2 kg e questo ci dà un valore di 0,05%.
Per determinare la propagazione dell'errore percentuale, sommiamo entrambi gli errori.
\[Errore = 0,05\% + 1\% = 1,05\%\]
Per calcolare la propagazione dell'incertezza, dobbiamo calcolare la forza come \(F=m \:g\). Se calcoliamo la forza senza l'incertezza, otteniamo il valore atteso.
\[Forza = (2\:kg)(9,81 \: m/s^2)=19,62\:N\]
Ora calcoliamo il valore con le incertezze. In questo caso, entrambe le incertezze hanno gli stessi limiti superiore e inferiore di \(± 1\:g\) e \(± 0,1 \:m/s^2\) visti nell’esempio precedente.
\[Forza \:con\: incertezza = (2\:kg + 1\:g)(9,81\:m/s^2 + 0,1 \: m/s^2)=19,8299\: N\]
Possiamo arrotondare questo numero a due cifre significative come \(19,83\: N\). Ora facciamo la sottrazione tra i due.
\[Incertezza = |Forza - Forza\:con\:incertezza|=0,21\]
Il risultato è espresso come "\(valore\: atteso ± incertezza\)".
\[Forza = (19,62 \pm 0,21) \:N\]
Se utilizziamo valori con incertezze ed errori, dobbiamo indicarlo nei nostri risultati.
Riportare le incertezze
Per riportare un risultato con incertezze, si utilizza il valore calcolato seguito dall'incertezza. Si può scegliere di inserire la quantità all'interno di una parentesi. Ecco un esempio di come riportare le incertezze.
Misuriamo una forza e, secondo i nostri risultati, la forza ha un'incertezza di \(0,21\:N\).
\[Forza = (19,62 \pm 0,21)\:N\]
Il nostro risultato è \(19,62\:N\), con una variazione possibile di più o meno \(0,21\: N\).
Propagazione delle incertezze
Si vedano le seguenti regole generali su come si propagano le incertezze e come si calcolano le incertezze. Per qualsiasi propagazione dell'incertezza, i valori devono avere le stesse unità.
Addizione e sottrazione: se i valori vengono aggiunti o sottratti, il valore totale dell'incertezza è il risultato dell'aggiunta o della sottrazione dei valori di incertezza. Se abbiamo misure \((A ± a)\) e \((B ± b)\), il risultato della loro somma è \(A + B\) con un'incertezza totale \((± a) + (± b)\).
Supponiamo di aggiungere due pezzi di metallo di \(1,3\: m\) e \(1,2\: m\) di lunghezza. Le incertezze sono \(± 0,05\:m\) e \(± 0,01\:m\). Il valore totale dopo l'addizione è di \(1,5\: m\) con un'incertezza di \(±(0,05\: m + 0,01\: m) = ± 0,06\: m\).
Moltiplicazione per un numero: l’incertezza totale è calcolata moltiplicando l’incertezza per lo stesso numero.
Supponiamo di calcolare la circonferenza di un cerchio, sapendo che questa è uguale a \(C = 2 \pi r\). Calcoliamo il raggio come \(r = (1 ± 0,1)\:m\). L'incertezza è pari a \(((2)(3,1415)(1) ± 0,1) \:m\), il che ci dà un valore di incertezza di (0,6283\: m).
Divisione per un numero: la procedura è la stessa della moltiplicazione. In questo caso, dividiamo l’incertezza per lo stesso numero.
Se abbiamo una lunghezza di \(1,2 \:m) con un'incertezza di (± 0,03\: m\) e la dividiamo per 5, l'incertezza è di \(± 0,03 / 5\) o \(± 0,006\).
Deviazione dei dati
Possiamo anche calcolare la deviazione dei dati prodotta dall'incertezza dopo aver effettuato qualche calcolo. La deviazione dei dati cambia se aggiungiamo, sottraiamo, moltiplichiamo o dividiamo i nostri dati tra di loro. La deviazione dei dati utilizza il simbolo "\(\delta\)".
Deviazione dovuta all’addizione: Per calcolare la deviazione del risultato dobbiamo calcolare la radice quadrata del quadrato delle incertezze:\[\delta = \sqrt{a^2+b^2}\]
Deviazione dovuta a moltiplicazione o divisione: Per calcolare la deviazione dei dati quando moltiplichiamo diverse misure, è necessario calcolare il rapporto incertezza-valore reale e quindi calcolare la radice quadrata di questi termini al quadrato. Si veda questo esempio utilizzando le misure \((A ± a)\) e \((B ± b)\):\[\delta= \sqrt{\frac{|a|^2}{A}+\frac{|b|^2}{B}}\]Se abbiamo più di un dato, dobbiamo aggiungere altri termini.
Deviazione dei dati se sono coinvolti esponenti: dobbiamo moltiplicare l’esponente per l’incertezza e poi applicare la formula per la moltiplicazione e la divisione. Se abbiamo \(y = (A ± a)^2 \times (B\pm b)^3\), avremo:\[\delta = \sqrt{\frac{2|a|^2}{A}+\frac{3|b|^2}{B} }\]Se abbiamo più di due valori, bisogna aggiungerli a questo calcolo
Arrotondamento
Quando gli errori e le incertezze sono molto piccoli o molto grandi, è conveniente eliminare i termini se non alterano i risultati. Quando arrotondiamo i numeri, possiamo arrotondare per eccesso o per difetto.
Misurando il valore della costante di gravità sulla Terra, il nostro valore è \(9,81\: m/s^2\) e abbiamo un'incertezza di \(± 0,10003 \:m/s^2\). Il valore dopo la virgola varia la nostra misura di \(0,1 \:m/s^2\); tuttavia, l'ultimo valore di \(0,0003 \)ha una grandezza così piccola che il suo effetto sarebbe appena percettibile. Possiamo quindi arrotondare per eccesso eliminando tutto ciò che si trova dopo \(0,1\).
Arrotondare numeri interi e decimali
Quando arrotondiamo i numeri, bisogna decidere quali valori sono importanti in base all’ordine di grandezza dei nostri dati.
Quando si arrotondano i numeri si possono scegliere due opzioni: arrotondare per eccesso o per difetto. L'opzione che scegliamo dipende dal numero dopo la cifra che riteniamo sia il valore più basso e importante per le nostre misure.
Arrotondamento per eccesso: eliminiamo i numeri che riteniamo non necessari. Un esempio semplice è l'arrotondamento da \(3,25\) a \(3,3).
Arrotondamento per difetto: anche in questo caso, eliminiamo i numeri che riteniamo non necessari. Un esempio è l'arrotondamento di \(76,24\) a \(76,2\).
La regola dell'arrotondamento per eccesso e per difetto: come regola generale, quando un numero termina con una cifra compresa tra 1 e 5, viene arrotondato per difetto. Se la cifra termina tra 5 e 9, viene arrotondata per eccesso, mentre il 5 viene sempre arrotondato per eccesso. Ad esempio, \(3,16\) e \(3,15\) diventano \(3,2\), mentre \(3,14\) diventa \(3,1\).
Osservando il problema, spesso si può dedurre il numero di cifre decimali (o cifre significative) necessarie. Supponiamo che ti venga dato un grafico con numeri che hanno solo due cifre decimali. Anche in questo caso ci si aspetta che le risposte includano due cifre decimali.
Arrotondamenti con incertezze ed errori
Quando abbiamo operazioni con errori e incertezze è importante seguire il giusto ordine delle operazioni. Bisogna prima propagare l’errore e poi arrotondare il risultato.
Supponiamo di avere due valori \((9,3 ± 0,4)\) e \((10,2 ± 0,14)\). Se sommiamo i due valori, dobbiamo anche sommare le loro incertezze. L'addizione di entrambi i valori ci fornisce l'incertezza totale come \(| 0,4 | + | 0,14 |\) o \(± 0,54\). Arrotondando \(0,54\) al numero intero più vicino si ottiene \(0,5\), in quanto \(0,54\) è più vicino a \(0,5\) che a \(0,6\).
Pertanto, il risultato della somma di entrambi i numeri e delle loro incertezze e dell'arrotondamento dei risultati è \((19,5 ± 0,5)\:m\).
Supponiamo che vi vengano dati due valori da moltiplicare, entrambi con incertezze. Vi viene chiesto di calcolare l'errore totale che si propaga. Le grandezze sono \(A = 3,4 ± 0,01\) e \(B = 5,6 ± 0,1\). La domanda chiede di calcolare l'errore percentuale propagato fino a una cifra decimale.
Innanzitutto, si calcola l'errore percentuale di entrambi:
\[Errore\:percentuale\:B = \frac{|5,6-5,7|}{5,6} \times 100 = 1,78\%\] \[Errore\:percentuale\:A = \frac{|3,4 -3,41|}{3,4}\times 100=0,29\%\]
L'errore totale è \(0,29\% + 1,78\%\) o \(2,07\%\).
Vi è stato chiesto di approssimare solo a una cifra decimale. Il risultato può variare a seconda che si prenda solo il primo decimale o che si arrotondi il numero.
\[Errore\:con\:arrotondamento=2,1\%\] \[Errore\:con\:approssimazione=2,0\%\]
Errori di misura e incertezza - Punti chiave
Le incertezze e gli errori introducono variazioni nelle misure e nei loro calcoli.
Le incertezze sono riportate in modo che chi consulta i dati possa sapere quanto può variare il valore misurato.
Esistono due tipi di errori: gli errori assoluti e gli errori relativi. Un errore assoluto è la differenza tra il valore previsto e quello misurato. L'errore relativo è il confronto tra l’errore assoluto e il valore previsto.
Gli errori e le incertezze si propagano quando effettuiamo calcoli con dati che presentano errori o incertezze.
È utile calcolare come si propaga l'errore, per sapere quanto sono affidabili i nostri risultati.
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Domande frequenti riguardo Errori di misura
Quali sono gli errori in fisica?
Gli errori producono una differenza tra il valore reale e quello misurato e sono il risultato di un errore nel processo di misurazione.
Le cause degli errori possono essere gli strumenti utilizzati, le persone che leggono i valori o il sistema di misurazione.
Come si calcola l'errore di misura?
L’errore di misura si calcola in diversi modi in base a quale tipo di errore ci interessa: l’errore assoluto è la differenza tra il valore misurato e quello atteso, mentre l’errore relativo è il rapporto tra errore assoluto e valore reale.
Che cosa è un errore sistematico?
Gli errori sistematici compaiono costantemente in ogni misurazione che effettuiamo. Questi errori derivano dall'uso sbagliato di uno strumento, da una deviazione all'interno dello strumento o dal sistema che analizza i dati. Gli errori sistematici sono quindi sempre presenti nell’analisi dei dati.
Qual è l'errore relativo?
L'errore relativo è il rapporto tra l’errore assoluto e il valore reale. Ci dà un’idea di quanto grande sia l’errore assoluto rispetto al valore atteso della misura. L’errore relativo ci dice di quando la nostra misura si discosta dal valore atteso in percentuale.
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