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Quando abbiamo a che fare con grandezze vettoriali come, ad esempio, l'accelerazione o lo spostamento, occorre tener presente che queste grandezze sono caratterizzate non solo da un'intensità (o modulo), ma anche da una direzione e un verso.
In questo articolo vedremo come affrontare e risolvere i problemi che coinvolgono grandezze vettoriali. Dopo un breve ripasso sulla differenza tra scalari e vettori, illustreremo, attraverso semplici esempi, i metodi usati per risolvere esercizi che includono grandezze vettoriali.
Differenza tra vettori e scalari
Uno scalare è una grandezza che non ha direzione ed è indentificata da un numero accompagnato dalla relativa unità di misura. Ad esempio, la temperatura è identificata da un valore numerico misurato su una certa scala, ma non ha direzione. Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, l'energia, la lunghezza, il tempo e la distanza.
Fig. 1 - La temperatura è una grandezza scalare.
Un vettore, invece, è identificato da un numero che ne esprime l'intensità (o modulo), da una direzione e da un verso. Esempi di grandezze vettoriali sono la velocità, l'accelerazione, la quantità di moto, lo spostamento e la forza, compreso il peso.
Una grandezza che è data dal prodotto tra una grandezza scalare e una grandezza vettoriale sarà anch'essa una grandezza vettoriale. Un esempio è la quantità di moto di un oggetto, perché è uguale a una grandezza scalare (la massa) moltiplicata per una grandezza vettoriale (la velocità).
Fig. 2 - La velocità è una grandezza vettoriale.
Scomposizione dei vettori
La scomposizione dei vettori in componenti ci aiuta a risolvere problemi vettoriali complessi. Per scomporre un vettore nelle sue componenti, dobbiamo identificare la lunghezza orizzontale e verticale del vettore e trattare queste lunghezze come due grandezze separate. L'esempio seguente aiuta a capire meglio il concetto.
Trova le componenti del vettore mostrato di seguito.
Fig. 3 - Rappresentazione grafica di un vettore.
Per trovare le componenti di questo vettore nel piano cartesiano, dobbiamo considerare la sua componente lungo l'asse x e la sua componente lungo l'asse y.
Fig. 4 - Scomposizione di un vettore nel piano cartesiano.
Come puoi notare, la lunghezza orizzontale (lungo l'asse x) è 12 e quella verticale (lungo l'asse y) è 10. Quando scomponiamo un vettore nel piano (x,y), otteniamo sempre un valore orizzontale e uno verticale. Se avessimo a che fare con un problema nello spazio, dovremmo considerare anche la componente lungo l'asse z.
È possibile scomporre un vettore nelle sue componenti quando non si conoscono le sue lunghezze orizzontali e verticali? Sì, vediamo come si fa.
Fig. 5 - Scomposizione del vettore velocità \( \vec v \) nel piano cartesiano (x,y).
Abbiamo visto che vettore è un segmento orientato: possiede un modulo (o intensità), una direzione e un verso. Se conosciamo l'angolo che tale segmento forma ocn l'asse delle ascisse (l'angolo a in Figura 5), possiamo determinare le sue componenti orizzontale e verticale.
Per determinare la relazione tra l'angolo e le componenti abbiamo bisogno della trigonometria. Ad esempio, determiniamo la componente orizzontale \( v_x \). Sappiamo dalla trigonometria che:
\[\cos a = \frac{v_x}{ v} \]
dove per \(v\) indichiamo il modulo (o intensità) del vettore (ovvero, \( v =\lvert \vec v \rvert\)).
Per indicare una grandezza vettoriale si pone una freccia sopra il simbolo che rappresenta la grandezza. Ad esempio, per indicare la velocità scriveremo: \( \vec v\). Scriveremo quindi \(\lvert \vec v \rvert\) per indicarne il modulo (o intensità).
Dall'espressione precedente ricaviamo:
\[ v_x = v \cos a\]
Determiniamo ora la componente verticale \(v_y\). Dalla trigonometria sappiamo che:
\[\sin a = \frac{v_y}{ v} \]
da cui ricaviamo:
\[ v_y = v \sin a\]
Addizione e sottrazione di vettori
Vediamo ora come effettuare l'addizione e la sottrazione di vettori.
Addizione di vettori
È importante ricordare che il modulo del vettore somma non è dato dalla somma dei moduli di ciascun vettore! Dati due vettori \(\vec a \) e \( \vec b\) come quelli rappresentati in Figura 6, il vettore somma \( \vec a + \vec b \) può essere ottenuto utilizzando due metodi.
Metodo punta-coda
Il metodo punta-coda consiste nel traslare i vettori in modo che la coda dell'uno coincida con la punta dell'altro. Ad esempio, in Figura 6, il vettore \( \vec b\) in alto è stato spostato in modo che la sua coda coincida con la punta di \( \vec a\). Nello spostamento il vettore non deve cambiare direzione! La somma dei due vettori è rappresentata dal vettore che unisce la coda di \(\vec a\) con la punta di \(\vec b\) (Figura 6, freccia viola).
Regola del parallelogramma
La regola del parallelogramma costituisce un altro metodo per calcolare la somma dei vettori. Quando si utilizza questo metodo occorre traslare i vettori in modo che abbiano in comune l'origine. Per esempio, in Figura 6 il vettore \( \vec b\) in basso è stato traslato in modo da avere l'origine in comune con \( \vec a\). A partire dai vettori \( \vec a\) e \( \vec b\) così collocati, si costruisce il parallelogramma che ha per lati questi due vettori e gli altri due lati paralleli a essi. Il vettore somma è la diagonale del parallelogramma così formato.
Fig. 6 - Addizione di due vettori.
Sottrazione di vettori
Quando si effettua la sottrazione \( \vec a - \vec b \) occorre cambiare il verso del vettore \( \vec b\) mantenendone la stessa direzione e verso. In altre parole, occorre rappresentare il vettore \( - \vec b\), come mostrato in Figura 7. A questo punto si unisce la coda di \( - \vec b\) alla punta di \( \vec a\) e si applica il metodo punta-coda. In alternativa, si uniscono le due code e si applica la regola del parallelogramma.
Fig. 7 - Sottrazione di vettori.
Vettori: esercizi con soluzioni
Vediamo ora alcuni esercizi svolti.
Una nave viaggia verso nord per \(50 \space Km\) e poi verso est per \(40 \space Km\). Trova lo spostamento risultante.
Possiamo indicare con \(\vec a\) il primo spostamento e con \(\vec b\) il secondo, come nella figura sottostante.
In questo caso non occorre traslare alcun vettore poiché la coda di \(\vec b\) coincide con la punta di \(\vec a\).
Il vettore risultante \(\vec a + \vec b\) rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo così formato. La sua intensità (o modulo) si trova quindi applicando il teorema di Pitagora:
\[ \lvert \vec a + \vec b \rvert = \sqrt{ \lvert \vec a \rvert ^2 + \lvert \vec b \rvert ^2 } = \sqrt {(50 \space Km)^2 + (40 \space Km)^2} \approx 64 \space Km \]
La barca si è quindi spostata di circa \(64 \space Km\) in direzione nord-est.
Un uomo cammina inizialmente verso nord-est per 11,40 metri, poi continua a camminare verso est per 6,6 metri e infine cammina verso nord-ovest per 21,26 metri prima di fermarsi. Determinare lo spostamento totale dell'uomo.
Per determinare lo spostamento totale dell'uomo, dobbiamo indicare le lunghezze che ha percorso come vettori, ciascuno con la sua direzione. Indichiamo con il vettore \(A\) il suo primo movimento, con il vettore \(B\) il secondo e, infine, con \(C\) il terzo. Lo spostamento totale sarà quindi il segmento che unisce il punto di partenza a quello di arrivo, come mostrato nella figura sottostante.
Fig. 9 - Rappresentazione dello spostamento compiuto attraverso un diagramma vettoriale.
Se si misura lo spostamento totale con un righello, si vedrà che è di 23,094 metri in direzione nord, anche se l'uomo ha camminato per 39,26 metri. Vediamo, attraverso la scomposizione dei vettori, come spiegare questo fatto.
In questo particolare esempio, abbiamo bisogno solo delle componenti verticali (ovvero, quelle lungo l'asse y, se si considera il problema nel piano (x,y)) poiché lo spostamento totale è solo verticale, come mostrato in Figura 9. Dobbiamo quindi considerare solo i vettori \(A\) e \(C\), in quanto il vettore \(B\) è diretto verso est (e, quindi, lungo l'asse x).
Fig. 10 - Scomposizione dei vettori in componenti orizzontale e verticale.
Per determinare la componente \(A_y\), usiamo la trigonometria e applichiamo l'equazione che abbiamo scritto precedentemente:
\[ A_y = A sin(45°)= 11,4 \cdot \frac{\sqrt{2}} {2} = 8,06 \space m\]
Non è necessario determinare le componenti di \(B\), poiché, come abbiamo detto, questo spostamento non ha una componente verticale. Per determinare \(C_y\) , applichiamo la stessa equazione.
\[ C_y = C sin(45°)= 21,26 \cdot \frac{\sqrt{2}} {2} = 15,03 \space m\]
Lo spostamento totale è la somma di \(A_y\) e \(C_y\), ovvero:
\[ spostamento \space totale = 8,06 + 15,03 = 23,09 \space m \]
Abbiamo detto che la forza è una grandezza vettoriale. Vediamo quindi come calcolare l'intensità della forza risultante nel caso di due forze perpendicolari tra loro applicate a un oggetto.
Due amici spingono una scatola. Le due forze applicate, \(F_1\) e \(F_2\), sono perpendicolari tra loro come mostrato in Figura 11 Uno degli amici applica una forza di 3 Newton (\(F_1\)) in direzione est, mentre l'altro applica una forza di 4 Newton (\(F_2\)) in direzione nord. Determinare l'intensità della forza totale applicata alla scatola.
Fig. 11 - Due forze perpendicolari sono applicate alla scatola.
Si può visualizzare il problema utilizzando il metodo punta-coda, unendo la coda del vettore \(F_2\) con la punta del vettore \(F_1\) come mostrato in Figura 11 in alto a destra. In alternativa, si può usare la regola del parallelogramma sistemando i vettori in modo che abbiano la stessa origine e costruendo un paralellogramma (in questo caso, un rettangolo) in cui la risultante dei vettori è la diagonale.
Poiché le due forze \(F_1\) e \(F_2\) sono perpendicolari tra loro, la loro somma può essere facilmente ricavata utilizzando il teorema di Pitagora:
\[ F_{totale}= \sqrt{F_1^2 + F_2 ^2}\ = \sqrt{3^2 \space N^2 + 4^2 \space N^2} = 5 \space N \]
Se i vettori da sommare (o sottrarre) non sono ortogonali tra loro, per trovare il modulo del vettore somma (o differenza) si dovrà usare il teorema del coseno (o teorema di Carnot) anziché il teorema di Pitagora.
Fig. 12 - Illustrazione del teorema di Carnot.
Il teorema di Carnot stabilisce che dato un triangolo qualsiasi (come quello mostrato in Figura 12), il quadrato di un lato è dato dalla somma dei quadrati degli altri due lati cui va sottratto il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra di essi:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos(\alpha)\]
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos(\beta)\]
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(\gamma)\]
Esercizi con i vettori - Punti chiave
Le grandezze che sono caratterizzate da un'intensità (modulo) una direzione e un verso sono chiamate grandezze vettoriali.
Esempi di grandezze vettoriali includono la velocità, l'accelerazione, la quantità di moto e le forze.
Nel caso di un problema bidimensionale, per scomporre un vettore nelle sue componenti dobbiamo misurare le lunghezze lungo l'asse delle ascisse e lungo l'asse delle ordinate.
Per trovare graficamente la somma (o la differenza) tra vettori si possono usare il metodo punta-coda o la regola del parallelogramma.
Se due vettori sono perpendicolari tra loro, possiamo calcolare la somma (o la differenza) semplicemente utilizzando il teorema di Pitagora. Se invece i vettori non sono ortogonali, si usa il teorema del coseno (o teorema di Carnot).
References
- Fig. 7 - Vector subtraction.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vector_subtraction.jpg) by Reventlov17 is licensed by CC0 1.0 (https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.en).
- Fig. 8 - Vector-addition.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:BTD6nvhxrnjet_wuz#/media/File:Vector-addition.svg) by CrAc (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:BTD6nvhxrnjet_wuz) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
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Domande frequenti riguardo Esercizi sui vettori
Come si fa la differenza tra due vettori?
Quando si effettua la sottrazione tra due vettori si cambia il verso del vettore da sottrarre mantenendone la stessa direzione e verso. In altre parole, si rappresenta graficamente il vettore opposto. Si unisce quindi la coda del vettore opposto con la punta dell'altro vettore e si applica il metodo punta-coda. In alternativa, si uniscono le due code e si applica la regola del parallelogramma.
Che cosa sono i vettori in fisica?
In matematica i vettori sono elementi di uno spazio vettoriale e sono rappresentati da segmenti orientati. In fisica i vettori sono usati per indicare quelle grandezze che sono caratterizzate da un'intensità (o modulo) una direzione e un verso.
Esempi di grandezze vettoriali sono lo spostamento, la velocità, la quantità di moto, l'accelerazione e le forze.
Come si fa un prodotto vettoriale?
Il prodotto vettoriale è un'operazione tra due vettori che restituisce un altro vettore che è ortogonale al piano formato dai due vettori. Il modulo del vettore così ottenuto è pari al prodotto sei singoli moduli moltiplicato per il seno dell'angolo fra essi compreso.
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