Ciclo di Carnot

Il frigo che tiene al fresco i nostri cibi, il riscaldamento che di inverno non ci fa congelare sono esempi di macchina termica. La più semplice macchina termica è la macchina di Carnot, un esempio di applicazione del ciclo di Carnot. Vediamo insieme di cosa si tratta.

Ciclo di Carnot Ciclo di Carnot

Create learning materials about Ciclo di Carnot with our free learning app!

  • Instand access to millions of learning materials
  • Flashcards, notes, mock-exams and more
  • Everything you need to ace your exams
Create a free account
Indice

    Ciclo di Carnot: descrizione generale

    Il ciclo di Carnot è il più semplice esempio di ciclo reversibile tra due sorgenti termiche. È una serie di trasformazioni cicliche, ovvero ha lo stesso punto di partenza e di arrivo nel piano p-V.

    Per il ciclo di Carnot è necessario che le due sorgenti tra cui si svolge il ciclo siano a temperature differenti, che diremo \(T_1\) e \(T_2\) con \(T_1>T_2\).

    È importante ricordare che il ciclo di Carnot, la macchina di Carnot e il gas che consideriamo durante la trasformazione sono tutti elementi teorici, nel senso che è impossibile realizzare una macchina di Carnot perfetta. Nonostante ciò, essendo il ciclo di Carnot l'esempio di macchina termica più efficiente, viene usato come metro di paragone in applicazioni reali, come pompe di calore e frigoriferi.

    Ciclo di Carnot: trasformazioni

    Il ciclo di Carnot è composto da una serie di quattro trasformazioni: due isotermiche e due adiabatiche, tutte reversibili. In figura 1 possiamo vedere il tracciato del ciclo di Carnot sul piano p-V. Vediamo nello specifico le singole trasformazioni.

    Ciclo di Carnot Trasformazioni StudySmarterFig. 1 - Diagramma p-V delle trasformazioni nel ciclo di Carnot.

    Vediamo il ciclo nell'ordine mostrato in figura 1, tuttavia, essendo composto da una serie di trasformazioni cicliche, si può iniziare con ciascuna delle quattro trasformazioni senza cambiare il risultato.

    1. Tra il punto \(1\) e il punto \(2\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si espande, la pressione diminuisce e la temperatura rimane costante.
    2. Tra il punto \(2\) e il punto \(3\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si espande, riducendo la sua temperatura e pressione.
    3. Tra il punto \(3\) e il punto \(4\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si contrae, aumenta la pressione e la temperatura rimane costante.
    4. Tra il punto \(4\) e il punto \(1\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si contrae, aumentando pressione e temperatura.

    Una macchina che compie questo ciclo è detta macchina di Carnot e come si vede in figura 1, la macchina assorbe calore \(Q_1\) durante la trasformazione isoterma in cui il gas si espande e ne cede una parte \(Q_2\) durante la trasformazione isoterma in cui si contrae.

    Ciclo di Carnot: rendimento

    Come per tutte le macchine termiche, possiamo definire il rendimento del ciclo di Carnot come il rapporto tra lavoro svolto e quantità di calore assorbita:

    \[ \eta = \frac{W}{Q_1} = 1- \frac{|Q_2|}{Q_{1}}\,,\]

    dove con \(Q_1\) e \(Q_2\) indichiamo il calore assorbito nella fase di espansione isoterma e quello ceduto nella fase di compressione isoterma rispettivamente.

    Questa formula, come vedremo si può riscrivere in una maniera più semplice, ovvero

    \[\eta = 1- \frac{T_2}{T_1}\,.\]

    Il rendimento è quindi tanto più alta, quanto più alta è la differenza di temperatura tra le due sorgenti!

    Altro importante fatto è che il rendimento della macchina di Carnot è completamente indipendente dal gas usato (a patto che sia un gas perfetto), perché dipende solo dalle due temperature.

    Ciclo di Carnot: dimostrazione del rendimento

    Per dimostrare la formula del rendimento che abbiamo appena visto dobbiamo rispolverare qualche nozione di termodinamica. In particolare, dobbiamo ricordare la formula per il calore nelle varie trasformazioni e le relazioni di temperatura e volume nelle trasformazioni adiabatiche.

    Per un ripasso su queste formule e concetti, su StudySmarter abbiamo un articolo dedicato alle trasformazioni termodinamiche.

    Per prima cosa, calcoliamo il calore assorbito e ceduto dalla macchina termica nelle due trasformazioni isoterme

    \[\begin{align*}Q_1 &= nRT_1 \ln\left( \frac{V_2}{V_1}\right)\\Q_2 &= nRT_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right)\end{align*}\]

    dove \(R\) rappresenta la costante universale dei gas, \(n\) il numero di moli del gas considerato e i pedici ai volumi indicano i punti della trasformazione a cui sono considerati, quindi \(V_1\) è il volume al punto \(1\) e così via.

    Possiamo ora applicare questi nella formula generale per il rendimento vista prima

    \[\eta = 1-\frac{|Q_2|}{Q_1} = 1 - \frac{\Bigl| nRT_1 \ln\left( \frac{V_2}{V_1}\right) \Bigr|}{nRT_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right) }\,.\]

    È importante notare che il calore ceduto \(Q_2\) è negativo perché l'argomento del logaritmo è minore di 1 (infatti \(V_2<V_1\)), questo ci permette di eliminare il valore assoluto invertendo l'argomento del logaritmo e semplificare \(n\) e \(R\):

    \[\eta = 1-\frac{|Q_2|}{Q_1} = 1 - \frac{ \bcancel{n}\bcancel{R}T_1 \ln\left( \frac{V_1}{V_2}\right) }{\bcancel{n}\bcancel{R}T_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right) }=1- \frac{ T_1 \ln\left( \frac{V_1}{V_2}\right)}{T_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right) } \,.\]

    Usando le equazioni delle trasformazioni adiabatiche che legano temperatura e volume possiamo ricavare che i rapporti tra i due logaritmi sono uguali. Vediamo come.

    Vediamo le equazioni che si applicano alle trasformazioni \(2\) e \(3\) del nostro ciclo:

    \[\begin{align*}T_1 V_2^{\gamma -1} = T_2 V_3^{\gamma-1} &\implies \frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma -1}\\T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_4^{\gamma-1} &\implies \frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{V_4}{V_1} \right)^{\gamma -1}\end{align*}\]

    dove ricordiamo che \(\gamma\) è il coefficiente di dilatazione adiabatica del gas. Se uguagliamo i due rapporti dei volumi otteniamo:

    \[\left( \frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma -1} = \left( \frac{V_4}{V_1} \right)^{\gamma -1} \implies \frac{V_3}{V_2} = \frac{V_4}{V_1} \,,\]

    da cui possiamo ottenere

    \[\frac{V_3}{V_4} = \frac{V_2}{V_1}\,.\]

    Essendo i due rapporti dentro i logaritmi uguali, i logaritmi stessi sono uguali e possiamo semplificare ulteriormente la formula del rendimento della macchina di Carnot:

    \[\eta = 1- \frac{ T_1 \ln\left( \frac{V_1}{V_2}\right)}{T_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right)} = 1 - \frac{T_1}{T_2}\,.\]

    Ciclo di Carnot - Punti chiave

    • Il ciclo di Carnot è il più semplice esempio di ciclo reversibile tra due sorgenti termiche. È una serie di trasformazioni cicliche, ovvero ha lo stesso punto di partenza e di arrivo nel piano p-V.
    • Per il ciclo di Carnot è necessario che le due sorgenti tra cui si svolge il ciclo siano a temperature differenti, che diremo \(T_1\) e \(T_2\) con \(T_1>T_2\).
    • Le quattro trasformazioni nel ciclo di Carnot sono:
      1. Tra il punto \(1\) e il punto \(2\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si espande, la pressione diminuisce e la temperatura rimane costante.
      2. Tra il punto \(2\) e il punto \(3\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si espande, riducendo la sua temperatura e pressione.
      3. Tra il punto \(3\) e il punto \(4\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si contrae, aumenta la pressione e la temperatura rimane costante.
      4. Tra il punto \(4\) e il punto \(1\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si contrae, aumentando pressione e temperatura.
    • Il rendimento della macchina di Carnot è dato da \(\eta = 1- \frac{T_2}{T_1} \).
    Ciclo di Carnot Ciclo di Carnot
    Learn with 0 Ciclo di Carnot flashcards in the free StudySmarter app

    We have 14,000 flashcards about Dynamic Landscapes.

    Iscriviti con l'e-mail

    Hai già un account? Accedi

    Domande frequenti riguardo Ciclo di Carnot

    Come si calcola il rendimento di un ciclo di Carnot?

    Il rendimento del ciclo di Carnot è dato dalla formula η = 1 - T1/T2, dove T1 e T2 sono le temperature delle sorgenti termiche tra cui opera il ciclo con T1>T2.

    Cosa fa una macchina di Carnot?

    Una macchina di Carnot è una macchina termica che esegue un ciclo di Carnot tra due sorgenti termiche. Il ciclo di Carnot è caratterizzato da queste quattro trasformazioni termodinamiche:

    1.  Tra il punto 1 e il punto 2 si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si espande, la pressione diminuisce e la temperatura rimane costante.
    2. Tra il punto 2 e il punto 3 si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si espande, riducendo la sua temperatura e pressione.
    3. Tra il punto 3 e il punto 4 si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si contrae, aumenta la pressione e la temperatura rimane costante.
    4. Tra il punto 4 e il punto 1 si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si contrae, aumentando pressione e temperatura.

    Qual è il rendimento di una macchina di Carnot?

    Il rendimento di una macchina di Carnot è dato dalla formula η = 1 - T1/T2, dove T1 e T2 sono le temperature delle sorgenti termiche tra cui opera il ciclo con T1>T2.

    Discover learning materials with the free StudySmarter app

    Iscriviti gratuitamente
    1
    About StudySmarter

    StudySmarter is a globally recognized educational technology company, offering a holistic learning platform designed for students of all ages and educational levels. Our platform provides learning support for a wide range of subjects, including STEM, Social Sciences, and Languages and also helps students to successfully master various tests and exams worldwide, such as GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur, and more. We offer an extensive library of learning materials, including interactive flashcards, comprehensive textbook solutions, and detailed explanations. The cutting-edge technology and tools we provide help students create their own learning materials. StudySmarter’s content is not only expert-verified but also regularly updated to ensure accuracy and relevance.

    Learn more
    StudySmarter Editorial Team

    Team Fisica Teachers

    • 7 minutes reading time
    • Checked by StudySmarter Editorial Team
    Save Explanation

    Study anywhere. Anytime.Across all devices.

    Sign-up for free

    Iscriviti per sottolineare e prendere appunti. É tutto gratis.

    Join over 22 million students in learning with our StudySmarter App

    The first learning app that truly has everything you need to ace your exams in one place

    • Flashcards & Quizzes
    • AI Study Assistant
    • Study Planner
    • Mock-Exams
    • Smart Note-Taking
    Join over 22 million students in learning with our StudySmarter App

    Get unlimited access with a free StudySmarter account.

    • Instant access to millions of learning materials.
    • Flashcards, notes, mock-exams, AI tools and more.
    • Everything you need to ace your exams.
    Second Popup Banner