Ciclo di Carnot

Ciclo di Carnot: trasformazioni

Il ciclo di Carnot è composto da una serie di quattro trasformazioni: due isotermiche e due adiabatiche, tutte reversibili. In figura 1 possiamo vedere il tracciato del ciclo di Carnot sul piano p-V. Vediamo nello specifico le singole trasformazioni.

Fig. 1 - Diagramma p-V delle trasformazioni nel ciclo di Carnot.

Vediamo il ciclo nell'ordine mostrato in figura 1, tuttavia, essendo composto da una serie di trasformazioni cicliche, si può iniziare con ciascuna delle quattro trasformazioni senza cambiare il risultato.

1. Tra il punto \(1\) e il punto \(2\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si espande, la pressione diminuisce e la temperatura rimane costante.
2. Tra il punto \(2\) e il punto \(3\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si espande, riducendo la sua temperatura e pressione.
3. Tra il punto \(3\) e il punto \(4\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si contrae, aumenta la pressione e la temperatura rimane costante.
4. Tra il punto \(4\) e il punto \(1\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si contrae, aumentando pressione e temperatura.

Una macchina che compie questo ciclo è detta macchina di Carnot e come si vede in figura 1, la macchina assorbe calore \(Q_1\) durante la trasformazione isoterma in cui il gas si espande e ne cede una parte \(Q_2\) durante la trasformazione isoterma in cui si contrae.

Ciclo di Carnot: rendimento

Come per tutte le macchine termiche, possiamo definire il rendimento del ciclo di Carnot come il rapporto tra lavoro svolto e quantità di calore assorbita:

\[ \eta = \frac{W}{Q_1} = 1- \frac{|Q_2|}{Q_{1}}\,,\]

dove con \(Q_1\) e \(Q_2\) indichiamo il calore assorbito nella fase di espansione isoterma e quello ceduto nella fase di compressione isoterma rispettivamente.

Questa formula, come vedremo si può riscrivere in una maniera più semplice, ovvero

\[\eta = 1- \frac{T_2}{T_1}\,.\]

Il rendimento è quindi tanto più alta, quanto più alta è la differenza di temperatura tra le due sorgenti!

Altro importante fatto è che il rendimento della macchina di Carnot è completamente indipendente dal gas usato (a patto che sia un gas perfetto), perché dipende solo dalle due temperature.

Ciclo di Carnot: dimostrazione del rendimento

Per dimostrare la formula del rendimento che abbiamo appena visto dobbiamo rispolverare qualche nozione di termodinamica. In particolare, dobbiamo ricordare la formula per il calore nelle varie trasformazioni e le relazioni di temperatura e volume nelle trasformazioni adiabatiche.

Per prima cosa, calcoliamo il calore assorbito e ceduto dalla macchina termica nelle due trasformazioni isoterme

\[\begin{align*}Q_1 &= nRT_1 \ln\left( \frac{V_2}{V_1}\right)\\Q_2 &= nRT_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right)\end{align*}\]

dove \(R\) rappresenta la costante universale dei gas, \(n\) il numero di moli del gas considerato e i pedici ai volumi indicano i punti della trasformazione a cui sono considerati, quindi \(V_1\) è il volume al punto \(1\) e così via.

Possiamo ora applicare questi nella formula generale per il rendimento vista prima

\[\eta = 1-\frac{|Q_2|}{Q_1} = 1 - \frac{\Bigl| nRT_1 \ln\left( \frac{V_2}{V_1}\right) \Bigr|}{nRT_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right) }\,.\]

È importante notare che il calore ceduto \(Q_2\) è negativo perché l'argomento del logaritmo è minore di 1 (infatti \(V_2<V_1\)), questo ci permette di eliminare il valore assoluto invertendo l'argomento del logaritmo e semplificare \(n\) e \(R\):

\[\eta = 1-\frac{|Q_2|}{Q_1} = 1 - \frac{ \bcancel{n}\bcancel{R}T_1 \ln\left( \frac{V_1}{V_2}\right) }{\bcancel{n}\bcancel{R}T_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right) }=1- \frac{ T_1 \ln\left( \frac{V_1}{V_2}\right)}{T_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right) } \,.\]

Usando le equazioni delle trasformazioni adiabatiche che legano temperatura e volume possiamo ricavare che i rapporti tra i due logaritmi sono uguali. Vediamo come.

Vediamo le equazioni che si applicano alle trasformazioni \(2\) e \(3\) del nostro ciclo:

\[\begin{align*}T_1 V_2^{\gamma -1} = T_2 V_3^{\gamma-1} &\implies \frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma -1}\\T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_4^{\gamma-1} &\implies \frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{V_4}{V_1} \right)^{\gamma -1}\end{align*}\]

dove ricordiamo che \(\gamma\) è il coefficiente di dilatazione adiabatica del gas. Se uguagliamo i due rapporti dei volumi otteniamo:

\[\left( \frac{V_3}{V_2}\right)^{\gamma -1} = \left( \frac{V_4}{V_1} \right)^{\gamma -1} \implies \frac{V_3}{V_2} = \frac{V_4}{V_1} \,,\]

da cui possiamo ottenere

\[\frac{V_3}{V_4} = \frac{V_2}{V_1}\,.\]

Essendo i due rapporti dentro i logaritmi uguali, i logaritmi stessi sono uguali e possiamo semplificare ulteriormente la formula del rendimento della macchina di Carnot:

\[\eta = 1- \frac{ T_1 \ln\left( \frac{V_1}{V_2}\right)}{T_2\ln\left( \frac{V_4}{V_3}\right)} = 1 - \frac{T_1}{T_2}\,.\]