Trasformazione adiabatica

Perché quando mettiamo del caffè in un thermos questo non si raffredda in fretta? La risposta è nelle pareti del contenitore, che sono adiabatiche. Vediamo insieme cosa vuol dire questo termine e come si lega alle trasformazioni termodinamiche!

Trasformazione adiabatica: definizione

Vediamo immediatamente la definizione di trasformazione adiabatica.

Trasformazione adiabatica: lavoro

Visto che il calore scambiato nella trasformazione è nullo per definizione, possiamo scrivere il primo principio della termodinamica come

\[\Delta U = -W\,,\]

dove ricordiamo che \(U\) è l'energia interna del sistema e \(W\) il lavoro. Quindi, l'energia interna è sempre opposta in segno al lavoro effettuato nella trasformazione (questo ci sarà utile quando parleremo dell'energia, nello specifico).

Possiamo richiamare la formula della variazione di energia in una trasformazione termodinamica qualsiasi:

\[\Delta U = nc_V (T_B - T_A)\,,\]

dove, ricordiamo, \(n\) è il numero di moli del gas, \(c_V\) il calore specifico a volume costante e \(T_A\) e \(T_B\) le temperature in due punti \(A\) e \(B\) della trasformazione. Se inseriamo questo nella formula che lega lavoro e energia interna otteniamo

\[W = -nc_{V} (T_B - T_A)\,,\]

o, cambiando di segno,

\[W = nc_{V} (T_A - T_B)\,.\]

Trasformazione adiabatica: energia

Quanto abbiamo visto per il lavoro, ci permette di trarre alcune conclusioni sull'energia nelle trasformazioni adiabatiche:

• Se il gas compie un lavoro sull'ambiente esterno, ovvero se \(W > 0\), l'energia interna deve diminuire, ovvero \(\Delta U<0\). Questo ci dice che la temperatura del gas deve diminuire. Questo avviene, ad esempio, nelle espansioni adiabatiche.
• Se invece è l'ambiente a compiere un lavoro sul gas, ovvero se \(W < 0\), l'energia interna deve crescere, cioè \(\Delta U >0\). Questo comporta un aumento della temperatura del gas e avviene, ad esempio nelle compressioni adiabatiche.

Un modo semplice di ricordare queste proprietà è ricordarsi che l'energia e la temperatura del gas hanno lo stesso andamento nelle trasformazioni adiabatiche: se l'energia interna diminuisce, la temperatura diminuisce, se l'energia interna aumenta, anche la temperatura aumenta.

Trasformazione adiabatica: formule

La temperatura, la pressione e il volume nelle trasformazioni adiabatiche sono collegate da formule più complesse di quelle di trasformazioni isocore e isoterme. Anche per queste trasformazioni, però, esistono equazioni che legano le variabili di stato. Prima di passare a un approfondimento con la ricavazione di queste equazioni, le annunciamo:

\[\begin{gather*}T_A V_A^{\gamma -1} = T_B V_B^{\gamma-1}\implies TV^{\gamma-1} = \text{cost.}\,,\\[8pt]p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma \implies pV^\gamma = \text{cost.}\,,\\[8pt]T_A p_A^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_B p_B^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \implies Tp^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=\text{cost.} \,,\end{gather*}\]

dove \(\gamma = \frac{c_p}{c_V}\) è il coefficiente di dilatazione adiabatica (e \(c_p\) e \(c_V\) i calori specifici a pressione e volume costanti rispettivamente).

In particolare, la relazione \(pV^\gamma = \text{cost.}\) ci permette di disegnare la curva di una trasformazione adiabatica nel piano di Clapeyron. Se non fosse per l'esponente \(\gamma\), le trasformazioni adiabatiche disegnerebbero sul piano di Clapeyron la stessa curva delle trasformazione isoterme: delle iperboli equilatere.

Tuttavia, la presenza dell'esponente inclina l'iperbole, come si può vedere in figura 1. In questo senso, i processi adiabatici fanno da "ponte" tra isoterme diverse.

Figura 1- Trasformazione adiabatica