Trasformazione adiabatica

Vediamo ora come si ricavano queste formule. Saranno necessari dei conti che prevedono l'uso di equazioni differenziali, cercheremo di renderle quanto più digeribili possibili!

Come per il calcolo del lavoro, dobbiamo partire dall'equazione del primo principio della termodinamica per le trasformazioni adiabatiche. Questa volta, però, la vediamo in forma differenziale e consideriamo delle trasformazioni infinitesimo e quindi reversibili.

\[\mathrm{d}U = - \mathrm{d}W \implies \mathrm{d}U + \mathrm{d}W = 0\,.\]

Per \(\mathrm{d}U\) possiamo usare l'equazione che abbiamo visto nel paragrafo sul lavoro, mentre per il lavoro \(\mathrm{d}W\), possiamo avvalerci del fatto che questo può essere calcolato come l'area di un rettangolo sul piano di Clapeyron con base \(\mathrm{d}V\) e altezza \(p\). Se inseriamo queste cose tutte assieme, otteniamo

\[nc_V \mathrm{d}T +p\mathrm{d}V =0\,.\]

Dalla legge dei gas perfetti possiamo ricavare la pressione come

\[p = \frac{nRT}{V}\,,\]

dove \(R\) è la costante dei gas perfetti e le altre quantità sono le stesse che abbiamo visto nel corso dell'articolo. Se inseriamo questa formula in quella precedente, otteniamo

\[nc_V \mathrm{d}T + \frac{nRT}{V} \mathrm{d}V = 0\,.]

Ora separiamo le variabili, ovvero spostiamo a sinista tutte le quantità relative alla temperatura e a destra quelle relative al volume:

\[-\frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R}{c_V}\frac{\mathrm{d}V}{V}\,.]

Possiamo sostituire a \(R\) la sua espressione in termini dei calori specifici a volume e pressione costante, data da \(R = c_p - c_V\), da cui, otteniamo

\[\frac{c_p - c_V}{c_V} \frac{\mathrm{d}V}{V} = - \frac{\mathrm{d}T}{T}\,.\]

Quest'equazione può essere ulteriormente semplificata introducendo il coefficiente di dilatazione adiabatica \(\gamma = \frac{c_p}{c_V}\):

\[(\gamma - 1) \frac{\mathrm{d}V}{V} = - \frac{\mathrm{d}T}{T}\,.\]

Se ora integriamo a destra e sinistra dell'uguale nelle rispettive variabili, otteniamo

\[(\gamma - 1) \ln \left( \frac{V_B}{V_A}\right) = - \ln \left( \frac{T_B}{T_A} \right)\,.\]

Portiamo \(\gamma-1\) a destra e il segno \(-\) a sinistra come esponenti del logaritmo:

\[\ln \left( \frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma - 1} = \ln \left( \frac{T_B}{T_A} \right)^{-1}\,.\]

Infine, possiamo eliminare il logaritmo

\[\left( \frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma - 1} =\left( \frac{T_B}{T_A} \right)^{-1} \,,\]

oppure, riordinando i termini,

\[\boxed{T_A V_A^{\gamma-1} = T_B V_B^{\gamma-1}}\]

Per ottenere la relazione con pressione e volume, basta inserire dentro questa equazione la formula della temperatura che si ottiene dall'equazione dei gas perfetti:

\[T=\frac{pV}{nR}\,.\]

Da cui:

\[\frac{p_A V_A}{nR} V_A^{\gamma-1} = \frac{p_B V_B}{nR} V_A^{\gamma-1}\,\]

semplificando, otteniamo

\[\boxed{p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma}\]

Per ottenere l'equazione che contiene temperatura e pressione, ci basta fare lo stesso gioco con il volume ottenuto dalla legge dei gas perfetti:

\[V = \frac{nRT}{p}\,.]

Sostituendolo nell'equazione precedente, otteniamo

\[p_A \left( \frac{nRT_A}{p_A}\right)^\gamma = p_B \left(\frac{nRT_B}{p_B}\right)^\gamma\,.\]

Semplificando, otteniamo l'ultima relazione:

\[T_A^\gamma p_A^{\gamma-1} = T_B^\gamma p_B^{\gamma-1}\,,\]

oppure, riordinando,

\[\boxed{T_Ap_A^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}= T_B p_B^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}\]