Teorema di Carnot

Macchina di Carnot

Una macchina di Carnot è un'ipotetica macchina termica che agisce tra due sorgenti termiche a temperature \(T_1\) e \(T_2\) con \(T_1> T_2\). In particolare la macchina di Carnot esegue il ciclo di Carnot, una serie ciclica di trasformazioni termodinamiche di un gas perfetto composta dalle quattro seguenti trasformazioni:

1. Tra il punto \(1\) e il punto \(2\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si espande, la pressione diminuisce e la temperatura rimane costante.
2. Tra il punto \(2\) e il punto \(3\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si espande, riducendo la sua temperatura e pressione.
3. Tra il punto \(3\) e il punto \(4\) si ha una trasformazione isoterma in cui il gas si contrae, aumenta la pressione e la temperatura rimane costante.
4. Tra il punto \(4\) e il punto \(1\) si ha una trasformazione adiabatica in cui il gas si contrae, aumentando pressione e temperatura.

Nel compimento del ciclo, la macchina di Carnot assorbe il calore \(Q_1\) durante l'espansione isoterma e ne cede una parte \(Q_2\) durante la contrazione isoterma.

Fig. 1 - Diagramma p-V delle trasformazioni nel ciclo di Carnot.

Rendimento macchina di Carnot

Come abbiamo già visto, il rendimento di una macchina di Carnot perfetta è dato da

\[\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}\,,\]

dove \(T_2\) è la temperatura della sorgente a temperatura più bassa e \(T_1\) la sorgente a temperatura più alta.

Teorema di Carnot: enunciato

Il teorema di Carnot può essere enunciato in maniera concisa come

Possiamo dividere questo enunciato in due affermazioni da dimostrare separatamente che affermano

Teorema di Carnot: dimostrazione

La dimostrazione del teorema di Carnot avviene per assurdo, assumendo che una macchina reversibile possa avere rendimento maggire della macchina di Carnot, cosa che, come vedremo, viola la seconda legge della termodinamica.

Fig. 2 - Diagramma della dimostrazione del teorema di Carnot.

Partiamo con il dimostrare la prima affermazione. Ipotizziamo di avere due macchine termiche reversibili a temperature \(T_1\) e \(T_2\), con \(T_1 > T_2\) e aventi rendimento \(\eta_{R1}>\eta_{R2}\) (dove il pedice \(R\) indica che si tratta di macchine reversibili).

Come sappiamo, la macchina termica \(1\) produrrà del lavoro \(W_1\). p Possiamo quindi immaginare di usare questo lavoro per far compiere alla macchina \(2\) un ciclo frigorifero Dalla definizione di rendimento e dalla condizione \(\eta_{R1}>\eta_{R2}\) otteniamo

\[\frac{|W|}{Q_1} > \frac{|W|}{Q_1'}\implies \frac{1}{|Q_1|}>\frac{1}{|Q_1'|} \implies |Q_1|<|Q_1'|\,,\]

dove con \(Q_1\) indichiamo il calore assorbito dalla macchina termica \(1\) e con \(Q_1'\) indichiamo il calore riemesso dalla macchina termica \(2\). Dalla definizione di lavoro e il risultato appena trovato otteniamo

\[W = |Q_1|-|Q_2|=|Q_1'|-|Q_2'| \implies |Q_1'|-|Q_1|=|Q_2'|-|Q_2|\]\[\implies Q>0\,,\]

dove \(Q_2\) e \(Q_2'\) sono rispettivamente il calore generato dalla macchina termica \(1\) e quello assorbito dalla macchina termica \(2\). Cosa significa questo risultato in breve? Se immaginiamo di vedere il risultato complessivo delle due macchine, troviamo che questa macchina preleva una certo calore \(Q\) dalla sorgente a temperatura \(T_2\) con \(Q = |Q_1'|-|Q_1| > 0\), ovvero la macchina risultante è un frigorifero perfetto.

Ma se questa macchina è un frigorifero perfetto, non può essere \(\eta_{R1} > \eta_{R2}\)! Inoltre, se invertiamo le due macchine e il ragionamento che abbiamo appena visto e supponiamo che \(\eta_{R2} < \eta_{R1}\), arriviamo alla conclusione che la prima macchina sarebbe un frigorifero perfetto e che non può essere \(\eta_{R2} < \eta_{R1}\), per cui

\[\boxed{\eta_{R1} = \eta_{R2} \implies \eta_{\text{Rev}} = \eta_\text{Carnot}}\]

Dobbiamo ora dimostrare la seconda delle nostre formulazioni del teorema, che è però più semplice da verificare. Immaginiamo di avere una macchina termica reale e irreversibile e una reversibile che operano tra le sorgenti a temperatura \(T_1>T_2\) con rendimenti rispettivamente \(\eta_\text{Irr}\) e \(\eta_\text{Carnot}\).

Iniziamo supponendo che \(\eta_\text{Irr}>\eta_\text{Carnot}\), se facciamo compiere un ciclo frigorifero alla macchina di Carnot usando il lavoro prodotto dalla macchina irreversibile e usando quanto visto poco fa, otteniamo che non è possibile avere \(\eta_\text{Irr}> \eta_\text{Carnot}\).

D'altro canto, l'ipotesi che \(\eta_\text{Carnot}>\eta_\text{Irr}\) non può essere esclusa a priori, poiché la macchina irreversibile non può compiere un ciclo frigorifero per definizione, da cui otteniamo

\[\eta_\text{Irr} \leq \eta_\text{Carnot}\,.\]

Disuguaglianza di Clausius

Si può anche dimostrare (ma non lo faremo) che il teorema di Carnot si può riscrivere sotto forma di disuguaglianza come

\[\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} \leq 0\,,\]

condizione che, nel caso di cicli reversibili, si riporta alla condizione ideale

\[\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0\,.\]

Questa disuguaglianza si può ricondurre alla disuguaglianza (o teorema) di Clausius

\[\sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{T_i} \leq 0\,,\]

ovvero, in un sistema che eseque una trasformazione ciclica (come il ciclo di Carnot) in cui scambia calore con \(N\) sorgenti, la somma dei rapporti tra il calore scambiato \(Q_i\) e la temperatura \(T_i\) delle sorgenti è sempre minore o uguale a \(0\).

Questa particolare forma si può generalizzare quando vi sono una serie di trasformazioni infinitesime come

\[\oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0 \,,\]

dove \(\delta Q\) è il calore scambiato in una trasformazione infinitesima con la sorgente a temperatura \(T\).